Valem as igualdades
e
para quaisquer vetores
e
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre vetores e suas normas, que são basicamente o “tamanho” dos vetores. Queremos saber se, para quaisquer vetores u e v, as igualdades
e
sempre são verdadeiras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a definição de norma e algumas propriedades importantes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor u, representada por
, é o comprimento ou magnitude desse vetor. Matematicamente, se u tem componentes
, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira igualdade:
. Essa igualdade sugere que o comprimento do vetor resultante da soma de u e v é igual à soma dos comprimentos dos vetores individuais. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos usar a desigualdade triangular.
Passo 4
A Desigualdade Triangular nos diz que para quaisquer vetores u e v:
Essa desigualdade sempre é verdadeira, mas a igualdade ocorre somente quando os vetores u e v são colineares e apontam na mesma direção. Ou seja, apenas em casos específicos, não para quaisquer vetores.
Passo 5
Então, a igualdade
não é válida para todos os vetores u e v, mas apenas para aqueles que estão na mesma direção.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda igualdade:
. Para isso, podemos usar uma variação da desigualdade triangular, que é:
Isso significa que o comprimento da diferença entre os vetores é sempre maior ou igual à diferença dos comprimentos dos vetores. A igualdade ocorre quando u e v são colineares e apontam na mesma direção ou em direções opostas.
Passo 7
Portanto, a igualdade
também não é válida para todos os vetores u e v, mas apenas para casos específicos onde os vetores são colineares e estão alinhados de certa forma.
Resposta
Não, as igualdades
e
não são válidas para quaisquer vetores u e v, mas apenas para casos específicos onde os vetores são colineares e estão alinhados de maneira adequada.