Valem as igualdades |u+v|=|u|+|v| e |u-v|=|u|-|v| para quaisquer vetores u e v ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre vetores e suas normas, que são basicamente o “tamanho” dos vetores. Queremos saber se, para quaisquer vetores u e v, as igualdades |u+v| = |u| + |v| e |u-v| = |u| - |v| sempre são verdadeiras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como a definição de norma e algumas propriedades importantes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor u, representada por |u|, é o comprimento ou magnitude desse vetor. Matematicamente, se u tem componentes (u1, u2, dots, un), então:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + dots + un^2

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira igualdade: |u+v| = |u| + |v|. Essa igualdade sugere que o comprimento do vetor resultante da soma de u e v é igual à soma dos comprimentos dos vetores individuais. Para verificar se isso é sempre verdadeiro, podemos usar a desigualdade triangular.

Passo 4

A Desigualdade Triangular nos diz que para quaisquer vetores u e v:
|u + v| <= |u| + |v|
Essa desigualdade sempre é verdadeira, mas a igualdade ocorre somente quando os vetores u e v são colineares e apontam na mesma direção. Ou seja, apenas em casos específicos, não para quaisquer vetores.

Passo 5

Então, a igualdade |u+v| = |u| + |v| não é válida para todos os vetores u e v, mas apenas para aqueles que estão na mesma direção.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda igualdade: |u-v| = |u| - |v|. Para isso, podemos usar uma variação da desigualdade triangular, que é:
|u - v| >= ||u| - |v||
Isso significa que o comprimento da diferença entre os vetores é sempre maior ou igual à diferença dos comprimentos dos vetores. A igualdade ocorre quando u e v são colineares e apontam na mesma direção ou em direções opostas.

Passo 7

Portanto, a igualdade |u-v| = |u| - |v| também não é válida para todos os vetores u e v, mas apenas para casos específicos onde os vetores são colineares e estão alinhados de certa forma.

Resposta

Não, as igualdades |u+v| = |u| + |v| e |u-v| = |u| - |v| não são válidas para quaisquer vetores u e v, mas apenas para casos específicos onde os vetores são colineares e estão alinhados de maneira adequada.

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