Questão 1:

O perfil de uma peça metálica é descrito pela função:
y=f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+5
Essa peça será cortada por uma máquina CNC que precisa conhecer a inclinação da superfície no ponto em que o corte será iniciado. O ponto inicial está localizado em x = 2 cm. Qual é a equação da reta tangente à curva da peça no ponto x=2 ?

Passo 1

O enunciado nos dá o perfil de uma peça metálica descrito pela função
y = f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 5
e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto em que x=2. Para encontrar essa reta, precisamos calcular a derivada f'(x), avaliá-la em x=2 para obter a inclinação, e então usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Aplicamos a regra do poder termo a termo para obter a derivada de
f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 5.
Assim,
f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=2 para achar a inclinação da reta tangente:
f'(2) = 3\cdot2^{2} - 12\cdot2 + 9 = 3\cdot4 - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3.
Logo, a inclinação da reta tangente é -3.

Passo 4

Precisamos também do ponto de tangência na curva, ou seja, o valor de f(2):
f(2) = 2^{3} - 6\cdot2^{2} + 9\cdot2 + 5 = 8 - 24 + 18 + 5 = 7.
Portanto, a tangente passa pelo ponto (2,7).

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (2,7) com inclinação -3 é dada por
y - 7 = -3\bigl(x - 2\bigr).
Para simplificar, expandimos:
y - 7 = -3x + 6 \quad\Longrightarrow\quad y = -3x + 13.

Resposta

y = -3x + 13

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