Utilizando a transformada Laplace resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} \ddot{x}+4 x=e^{t} \sin t \\\ x(0)=\dot{x}(0)=0 \end{array}\right.
Aqui t \in[0, \infty).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \ddot x + 4x = e^{t}\sin t,\\\ x(0)=0,\quad \dot x(0)=0, \end{cases}
usando transformada de Laplace. Precisamos saber que
– a transformada de Laplace de \ddot x(t) é
\mathcal L\{\ddot x\}(s)=s^2X(s)-s\,x(0)-\dot x(0),
– a transformada de Laplace de x(t) é X(s),
– e tabelas de transformadas para funções exponenciais, cossenos e senos.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace membro a membro na equação \ddot x+4x=e^t\sin t, e usando x(0)=0, \dot x(0)=0, obtemos
s^2X(s)-s\cdot0-0 +4X(s) \;=\;\mathcal L\{e^t\sin t\}(s).
Isto é
(s^2+4)\,X(s)=\mathcal L\{e^t\sin t\}(s).

Passo 3

Usamos a fórmula
\mathcal L\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^2+b^2}.
Aqui a=1 e b=1, logo
\mathcal L\{e^t\sin t\}(s)=\frac{1}{(s-1)^2+1}.
Substituindo em (s^2+4)X(s)=\cdots, vem
X(s)=\frac{1}{(s^2+4)\bigl((s-1)^2+1\bigr)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{1}{(s^2+4)\bigl((s-1)^2+1\bigr)} =\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{C(s-1)+D}{(s-1)^2+1}.
Multiplicando por (s^2+4)((s-1)^2+1) e igualando coeficientes de potências de s, resolve-se o sistema e encontra-se
A=\tfrac{1}{10},\quad B=-\tfrac{1}{10},\quad C=-\tfrac{1}{10},\quad D=\tfrac{1}{5}.
Assim
X(s)=\frac{\frac{1}{10}s-\frac{1}{10}}{s^2+4} \;+\;\frac{-\frac{1}{10}(s-1)+\frac{1}{5}}{(s-1)^2+1}.

Passo 5

Para inverter cada termo usamos
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{s}{s^2+a^2}\Bigr\}(t)=\cos(at), \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{a}{s^2+a^2}\Bigr\}(t)=\sin(at),
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}\Bigr\}(t)=e^{at}\cos(bt), \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\frac{b}{(s-a)^2+b^2}\Bigr\}(t)=e^{at}\sin(bt).
Logo
x(t) =\frac{1}{10}\cos(2t) -\frac{1}{10}\,\frac{1}{2}\sin(2t) -\frac{1}{10}e^{t}\cos t +\frac{1}{5}e^{t}\sin t.
Simplificando -\tfrac{1}{10}\tfrac12=-\tfrac{1}{20} e \tfrac15=\tfrac{2}{10}, temos

Resposta

x(t) =\frac{1}{10}\cos(2t) -\frac{1}{20}\sin(2t) -\frac{1}{10}e^{t}\cos t +\frac{2}{10}e^{t}\sin t.

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