Questão 1

a. Dar a definição de transformada de Laplace.
b. Usar essa definição para calcular n in N para todo .

Passo 1

O exercício tem duas partes: a) definir a transformada de Laplace; b) usar essa definição para calcular Lt^n para n in N. Para isso, vamos usar integral imprópria e a função Gama.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como
Lf(t)(s) = integral0^infty e^-st,f(t),dt
Aqui s é um parâmetro real tal que a integral convirja (normalmente exigimos s>0).

Passo 3

Agora aplicamos essa definição a f(t)=t^n. Escrevemos
Lt^n(s) = integral0^infty e^-st,t^n,dt,
com a mesma condição de convergência s>0.

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos a substituição u=st. Então t = u/s e dt = du/s. Substituindo, obtemos
integral0^infty e^-st,t^n,dt = integral0^infty e^-u (us)^n dus = 1s^n+1 integral0^infty e^-u,u^n,du
O integral integral0^infty e^-uu^n,du é a definição da função Gama em n+1, isto é Gamma(n+1)=n!. Portanto, concluímos:
Lt^n(s) = n!s^n+1, s>0

Resposta

a) A transformada de Laplace de f(t) é definida por Lf(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt. b) Para ninN, temos Lt^n(s)=n!s^n+1, válido para s>0.

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