Seja f(x) uma função arbitrária. Sejam F(x)=|f(x)| e G(x)=f(|x|). Discuta a paridade de F e G.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a paridade de duas funções definidas a partir de uma função arbitrária f(x): F(x)=|f(x)| e G(x)=f(|x|). O conteúdo da matéria é paridade de funções, e vamos precisar usar as definições:
– Uma função h é par se satisfaz h(-x)=h(x) para todo x.
– Uma função h é ímpar se satisfaz h(-x)=-h(x) para todo x.

Passo 2

Para F(x)=|f(x)|, calculemos:
F(-x)=|f(-x)|
Como valor absoluto ignora sinal, temos |f(-x)|=|f(x)|. Então
F(-x)=|f(x)|=F(x)
Portanto, F satisfaz a condição de paridade para função par.

Passo 3

Para verificar se F poderia ser ímpar, consideraríamos
F(-x)=|f(-x)| -,F(x)=-|f(x)|
Como |f(x)| é sempre não negativo, não temos em geral |f(-x)|=-|f(x)| (a não ser no caso trivial f(x)=0). Logo, F não é ímpar.

Passo 4

Agora para G(x)=f(|x|), calculemos:
G(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=G(x)
Logo, G(-x)=G(x) para todo x, o que mostra que G é par.

Passo 5

Para ver que G não é ímpar (exceto no caso trivial), observe que exigir G(-x)=-G(x) leva a
f(|x|)=-f(|x|),
o que só ocorre se f(|x|)equiv0. Portanto, G não é ímpar em geral.

Resposta

Tanto F(x)=|f(x)| quanto G(x)=f(|x|) são funções pares e não são ímpares, exceto na situação trivial em que se tornam identicamente nulas.

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