Seja
uma função arbitrária. Sejam
e
. Discuta a paridade de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a paridade de duas funções definidas a partir de uma função arbitrária
:
e
. O conteúdo da matéria é paridade de funções, e vamos precisar usar as definições:
– Uma função é par se satisfaz
para todo
.
– Uma função é ímpar se satisfaz
para todo
.
– Uma função
– Uma função
Passo 2
Para
, calculemos:
Como valor absoluto ignora sinal, temos
. Então
Portanto,
satisfaz a condição de paridade para função par.
Passo 3
Para verificar se
poderia ser ímpar, consideraríamos
Como
é sempre não negativo, não temos em geral
(a não ser no caso trivial
). Logo,
não é ímpar.
Passo 4
Agora para
, calculemos:
Logo,
para todo
, o que mostra que
é par.
Passo 5
Para ver que
não é ímpar (exceto no caso trivial), observe que exigir
leva a
o que só ocorre se
. Portanto,
não é ímpar em geral.
Resposta
Tanto
quanto
são funções pares e não são ímpares, exceto na situação trivial em que se tornam identicamente nulas.