Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
e
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
. - O subconjunto
.
O que é pedido:
- Decidir se
é subespaço vetorial de . - Se for subespaço, demonstrar (ou seja, mostrar que satisfaz os axiomas necessários).
- Se não for subespaço, indicar qual axioma falha (e demonstrar a falha).
Passo 2
Lembrete didático sobre o que significa ser subespaço:
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se e somente se: -
não é vazio (equivalente a conter o vetor zero de ); -
é fechado sob adição: para todo , tem-se ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: para todo e todo , tem-se .
-
Explicando as palavras (para ficar bem claro):
- Fechado sob adição significa: se pegar dois vetores com a propriedade que define
, somá-los deve dar outro vetor que também tem a mesma propriedade. - Fechado sob multiplicação por escalares significa: se pegar qualquer escalar real
e qualquer vetor em , o produto também deve ficar em . - Essas três condições são suficientes (não é necessário checar todos os axiomas de espaço vetorial, porque as operações são as mesmas de
).
Passo 3
Verificação da não-emptiness / presença do vetor zero:
- O vetor zero em
é . - A primeira coordenada desse vetor é
, e é verdadeiro. - Logo
. - Conclusão parcial:
não é vazio e contém o zero — isso é necessário para ser subespaço e aqui é satisfeito.
Passo 4
Verificação do fechamento por adição (passo a passo):
- Tome
e . - Pelas hipóteses,
e . - A soma é
. - A primeira coordenada da soma é
. Como soma de dois números não-positivos é não-positiva, tem-se . - Portanto
satisfaz a condição da primeira coordenada e assim . - Conclusão parcial:
é fechado sob adição.
(Dica prática para a prova: ao verificar fechamento sob adição, sempre escreva as coordenadas genéricas e use propriedades simples de desigualdades — aqui usamos que se
e
então
.)
Passo 5
Verificação do fechamento por multiplicação por escalar (explicação e contraexemplo):
- A condição que devemos checar é: para todo
e todo , será que ? - Observe o efeito do sinal de
sobre a desigualdade: - Se
e , então . Nesse caso a primeira coordenada continua não-positiva. - Se
e , então (produto de dois negativos é positivo), então a primeira coordenada fica positiva e o vetor sai de .
- Se
- Para demonstrar que a propriedade NÃO vale para todos os escalares, basta um contraexemplo concreto:
- Tome
. Aqui , logo . - Tome o escalar
. - Calcule
. - A primeira coordenada de
é , e é falso, então .
- Tome
- Conclusão: existe
e tal que . Portanto não é fechado sob multiplicação por escalares.
Observação adicional (útil para a prova): a falha na existência do inverso aditivo mostra o mesmo problema — se
tem primeira coordenada negativa, então
tem primeira coordenada positiva e não está em
. Mas como
, isso é simplesmente uma instância da falha do fechamento por escalares.
Passo 6
Interpretação final do que encontramos (sem repetir a resposta final):
- Verificou-se que
contém o vetor zero e é fechado sob adição, mas não é fechado sob multiplicação por escalares (contraexemplo acima). Como a falta de fechamento por escalares viola um dos requisitos essenciais para ser subespaço, não satisfaz a definição de subespaço vetorial.