Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=\mathbb{R}^{4} e W=\{(x, y, z, w) \mid x \leq 0\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial V=\mathbb{R}^{4}.
  • O subconjunto W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x\leq 0\}.
O que é pedido:
  • Decidir se W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
  • Se for subespaço, demonstrar (ou seja, mostrar que satisfaz os axiomas necessários).
  • Se não for subespaço, indicar qual axioma falha (e demonstrar a falha).

Passo 2

Lembrete didático sobre o que significa ser subespaço:
  • Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
    1. W não é vazio (equivalente a conter o vetor zero de V);
    2. W é fechado sob adição: para todo u,v\in W, tem-se u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo v\in W, tem-se \alpha v\in W.
Explicando as palavras (para ficar bem claro):
  • Fechado sob adição significa: se pegar dois vetores com a propriedade que define W, somá-los deve dar outro vetor que também tem a mesma propriedade.
  • Fechado sob multiplicação por escalares significa: se pegar qualquer escalar real \alpha e qualquer vetor em W, o produto \alpha v também deve ficar em W.
  • Essas três condições são suficientes (não é necessário checar todos os axiomas de espaço vetorial, porque as operações são as mesmas de V).

Passo 3

Verificação da não-emptiness / presença do vetor zero:
  • O vetor zero em \mathbb{R}^{4} é (0,0,0,0).
  • A primeira coordenada desse vetor é 0, e 0\leq 0 é verdadeiro.
  • Logo (0,0,0,0)\in W.
  • Conclusão parcial: W não é vazio e contém o zero — isso é necessário para ser subespaço e aqui é satisfeito.

Passo 4

Verificação do fechamento por adição (passo a passo):
  • Tome u=(x_1,y_1,z_1,w_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,w_2)\in W.
  • Pelas hipóteses, x_1\leq 0 e x_2\leq 0.
  • A soma é u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;w_1+w_2).
  • A primeira coordenada da soma é x_1+x_2. Como soma de dois números não-positivos é não-positiva, tem-se x_1+x_2\leq 0.
  • Portanto u+v satisfaz a condição da primeira coordenada e assim u+v\in W.
  • Conclusão parcial: W é fechado sob adição.
(Dica prática para a prova: ao verificar fechamento sob adição, sempre escreva as coordenadas genéricas e use propriedades simples de desigualdades — aqui usamos que se a\leq 0 e b\leq 0 então a+b\leq 0.)

Passo 5

Verificação do fechamento por multiplicação por escalar (explicação e contraexemplo):
  • A condição que devemos checar é: para todo \alpha\in\mathbb{R} e todo v=(x,y,z,w)\in W, será que \alpha v\in W?
  • Observe o efeito do sinal de \alpha sobre a desigualdade:
    • Se \alpha\geq 0 e x\leq 0, então \alpha x\leq 0. Nesse caso a primeira coordenada continua não-positiva.
    • Se \alpha<0 e x<0, então \alpha x>0 (produto de dois negativos é positivo), então a primeira coordenada fica positiva e o vetor sai de W.
  • Para demonstrar que a propriedade NÃO vale para todos os escalares, basta um contraexemplo concreto:
    • Tome v=(-1,0,0,0). Aqui -1\leq 0, logo v\in W.
    • Tome o escalar \alpha=-1.
    • Calcule \alpha v = -1\cdot(-1,0,0,0) = (1,0,0,0).
    • A primeira coordenada de (1,0,0,0) é 1, e 1\leq 0 é falso, então (1,0,0,0)\notin W.
  • Conclusão: existe \alpha\in\mathbb{R} e v\in W tal que \alpha v\notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalares.
Observação adicional (útil para a prova): a falha na existência do inverso aditivo mostra o mesmo problema — se v\in W tem primeira coordenada negativa, então -v tem primeira coordenada positiva e não está em W. Mas como -v = (-1)\cdot v, isso é simplesmente uma instância da falha do fechamento por escalares.

Passo 6

Interpretação final do que encontramos (sem repetir a resposta final):
  • Verificou-se que W contém o vetor zero e é fechado sob adição, mas não é fechado sob multiplicação por escalares (contraexemplo acima). Como a falta de fechamento por escalares viola um dos requisitos essenciais para ser subespaço, W não satisfaz a definição de subespaço vetorial.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. Falha o fechamento por multiplicação por escalar: por exemplo, -1\cdot(-1,0,0,0)=(1,0,0,0)\notin W.

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