Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=M_{n}(\mathbb{R}) e W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \mid a_{11} \leq 0\right\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial é V=M_{n}(\mathbb{R}), o conjunto de todas as matrizes n\times n com entradas reais.
  • O subconjunto é W=\{A=(a_{ij}) \mid a_{11}\leq 0\}, ou seja, todas as matrizes cuja entrada na posição (1,1) é menor ou igual a zero.
A pergunta é: decidir se W é subespaço vetorial de V. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma falha e dar um contraexemplo.

Passo 2

Lembra do que precisamos checar para dizer que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço: basta verificar três propriedades (uma versão prática):
  1. W não é vazio (equivalente: o vetor zero de V pertence a W).
  2. Fechamento por soma: para quaisquer A,B\in W tem-se A+B\in W.
  3. Fechamento por multiplicação por escalar: para qualquer \alpha\in\mathbb{R} e qualquer A\in W tem-se \alpha A\in W.
Vou testar essas três propriedades. Lembre que as operações em M_n(\mathbb{R}) são entradas a entradas, isto é:
  • (A+B)_{11}=a_{11}+b_{11}.
  • (\alpha A)_{11}=\alpha a_{11}.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (contém o vetor zero).
  • O elemento zero de V é a matriz 0 cujas todas as entradas são 0. Para essa matriz temos 0_{11}=0.
  • Como 0\leq 0, temos 0\in W.
    Portanto W contém o vetor zero e não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
  • Tome A,B\in W. Então a_{11}\leq 0 e b_{11}\leq 0.
  • Como a soma de dois números não-positivos é não-positiva, tem-se a_{11}+b_{11}\leq 0.
  • Portanto (A+B)_{11}=a_{11}+b_{11}\leq 0, logo A+B\in W.
    Assim, W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar (ponto crítico).
  • Tome um escalar \alpha\in\mathbb{R} e A\in W com a_{11}\leq 0.
  • Se \alpha\geq 0, então \alpha a_{11}\leq 0, então \alpha A\in W.
  • Mas se \alpha<0 e a_{11}<0, então \alpha a_{11}>0, so \alpha A terá entrada (\alpha A)_{11}=\alpha a_{11}>0 e então \alpha A\notin W.
    Contraexemplo explícito: escolha a matriz A\in M_n(\mathbb{R}) definida por
a_{11}=-1,\qquad a_{ij}=0\\ \text{para os demais}\\ (i,j).
Então A\in W pois -1\leq 0. Tome \alpha=-1. Tem-se
(\alpha A)_{11}=(-1)\cdot(-1)=1>0,
logo \alpha A\notin W.
Portanto W não é fechado sob multiplicação por escalar (falha para escalares negativos).

Passo 6

Conclusão e interpretação didática rápida:
  • Verificamos que W não é vazio e que é fechado sob soma, mas falha em ser fechado sob multiplicação por escalares (existe \alpha\in\mathbb{R} e A\in W com \alpha A\notin W).
  • Logo W não satisfaz todos os axiomas necessários para ser subespaço vetorial de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V. Falha o fechamento por multiplicação por escalar (ex.: A com a_{11}=-1 e \alpha=-1 dão \alpha A\notin W).

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