Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos
abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
e
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial é
, o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. - O subconjunto é
, ou seja, todas as matrizes cuja entrada na posição é menor ou igual a zero.
A pergunta é: decidir se
é subespaço vetorial de
. Se for, demonstrar; se não for, indicar qual axioma falha e dar um contraexemplo.
Passo 2
Lembra do que precisamos checar para dizer que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço: basta verificar três propriedades (uma versão prática):
-
não é vazio (equivalente: o vetor zero de pertence a ). - Fechamento por soma: para quaisquer
tem-se . - Fechamento por multiplicação por escalar: para qualquer
e qualquer tem-se .
Vou testar essas três propriedades. Lembre que as operações em
são entradas a entradas, isto é:
-
. -
.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (contém o vetor zero).
- O elemento zero de
é a matriz cujas todas as entradas são . Para essa matriz temos . - Como
, temos .
Portantocontém o vetor zero e não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
- Tome
. Então e . - Como a soma de dois números não-positivos é não-positiva, tem-se
. - Portanto
, logo .
Assim,é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar (ponto crítico).
- Tome um escalar
e com . - Se
, então , então . - Mas se
e , então , so terá entrada e então .
Contraexemplo explícito: escolha a matrizdefinida por
Então
pois
. Tome
. Tem-se
logo
.
Portanto não é fechado sob multiplicação por escalar (falha para escalares negativos).
Portanto
Passo 6
Conclusão e interpretação didática rápida:
- Verificamos que
não é vazio e que é fechado sob soma, mas falha em ser fechado sob multiplicação por escalares (existe e com ). - Logo
não satisfaz todos os axiomas necessários para ser subespaço vetorial de .