Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.
t-y^3+y^2 sin t=(3 t y^2+2 y cos t) d yd t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
t - y^3 + y^2sin t ;=;l(3,t,y^2 + 2,ycos tr),dydt
e pede para decidir se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo usado é o teste de exatidão para equações diferenciais de primeira ordem e a construção de uma função potencial psi(t,y).

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial padrão
l(t - y^3 + y^2sin tr),dt ;-;l(3,t,y^2 + 2,ycos tr),dy ;=;0
Aqui definimos
M(t,y)=t - y^3 + y^2sin t, N(t,y)=-l(3,t,y^2 + 2,ycos tr)

Passo 3

Aplicamos o teste de exatidão, comparando
partial Mpartial y =,-3,y^2 + 2,ysin t, partial Npartial t =,-l(3,y^2r) + 2,ysin t =-3,y^2+2,ysin t
Como partial M/partial y=partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 4

Existe psi(t,y) tal que psit=M e psiy=N. Integramos M em relação a t:
psi(t,y) =integrall(t - y^3 + y^2sin tr),dt =t^22-t,y^3-y^2cos t + h(y),
sendo h(y) uma “constante” de integração em função de y.

Passo 5

Diferenciando essa psi em relação a y e igualando a N:
psiy =-3,t,y^2-2,ycos t + h'(y) = -3,t,y^2-2,ycos t
Isso mostra que h'(y)=0, logo h(y) é constante e pode ser absorvida em C.

Passo 6

A solução geral fica, de modo implícito,
psi(t,y)=t^22-t,y^3-y^2cos t = C

Resposta

t^22-t,y^3-y^2cos t = C

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