Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.
t d yd t=2 t e^t-y+6 t^2

Passo 1

O enunciado dá a ODE de primeira ordem
t dydt = 2t e^t - y + 6t^2
O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Podemos resolver como equação exata, escrevendo na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
ou como equação linear em y. Vamos optar pelo método de equação exata.

Passo 2

Reescrevendo
t,dy - l(2t e^t - y +6t^2r),dt = 0,
temos
M(t,y) = -2t e^t + y -6t^2, N(t,y) = t
Verificamos
partial M/partial y = 1
e
partial N/partial t = 1,
logo a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potêncial F(t,y) tal que
partial Fpartial t = M(t,y), partial Fpartial y = N(t,y)
Integrando partial F/partial t = M em relação a t:
F(t,y) = integral l(-2t e^t + y -6t^2r),dt = -2(t-1)e^t + yt -2t^3 + h(y)

Passo 4

Para ajustar h(y), usamos
partial Fpartial y = t + h'(y) = N(t,y) = t ;Longrightarrow; h'(y) = 0 ;Longrightarrow; h(y) = C
Assim a solução implícita é
-2te^t +2e^t +yt -2t^3 = C

Passo 5

Isolando y:
yt = 2te^t -2e^t +2t^3 + C Longrightarrow y = 2e^t - 2e^tt + 2t^2 + Ct

Resposta

A equação é exata e a solução geral é
-2te^t +2e^t +yt -2t^3 = C,
ou explicitamente
y = 2e^t - 2e^tt + 2t^2 + Ct

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