Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
t d yd t+(t-y)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
tdydt + (t - y) = 0
Este é um caso de equação de primeira ordem que fica mais simples com a substituição y = u(t),t, pois aparece y e t misturados num termo linear.

Passo 2

Fazendo y = u,t, calculamos a derivada pelo produto:
dydt = u + tdudt
Substituindo na EDO original temos
tl(u + tdudtr) + l(t - u,tr) = 0

Passo 3

Distribuindo e cancelando termos semelhantes:
t,u + t^2dudt + t - u,t = 0 Longrightarrow t^2dudt + t = 0
Ou seja,
t^2dudt = -,t Longrightarrow dudt = -1t

Passo 4

Agora a equação está separável em u e t. Integramos:
integral du = integral -1t,dt Longrightarrow u = -lnlvert trvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Retornando à variável y, lembramos que y = u,t. Assim,
y(t) = tl(-lnlvert trvert + Cr) = -,tlnlvert trvert + C,t

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(t) = -,tlnlvert trvert + C,t,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados