Suponha que um projétil disparado do solo para cima com uma velocidade inicial de v0 m / s atinja uma altura de s metros em t segundos, onde
s=v0 t-4,9 t^2
(a) Calcule a velocidade v no instante t.
(b) Quanto tempo decorre para que o projétil atinja sua altura máxima?
(c) Qual é a altura máxima?
(d) Qual é a velocidade do projétil no instante em que atinge o solo?
(e) Qual deve ser a velocidade inicial para que o projétil atinja o solo 15 segundos após o disparo?

Passo 1

O enunciado descreve o movimento vertical de um projétil lançado do solo com velocidade inicial ,v0 e posição dada por
s(t)=v0,t-4,9,t^2
O conteúdo principal é:
– derivada de s(t) para obter a velocidade v(t),
– encontro de máximo de função quadrática (tempo e valor máximo),
– raízes da função para achar quando atinge o solo,
– resolver condição de tempo de voo dado.

Passo 2

A velocidade é a derivada de s(t). Calculamos
v(t)=s'(t)=ddtl(v0,t-4,9,t^2r)=v0-9,8,t

Passo 3

A altura máxima ocorre quando v(t)=0. Assim,
v0-9,8,t=0 Longrightarrow tmax=v09,8

Passo 4

Substituindo tmax em s(t) temos
smax =v0!(v09,8) -4,9!(v09,8)^2 =v0^29,8-4,9v0^2(9,8)^2 =v0^219,6

Passo 5

Para achar a velocidade ao atingir o solo, resolvemos s(t)=0:
v0,t-4,9,t^2=0 Longrightarrow t=0 ou t=v04,9
No instante de retorno (segunda solução)
vl(tfracv04,9r) =v0-9,8;v04,9 =v0-2,v0=-,v0

Passo 6

Para que o projétil atinja o solo em t=15 s, exigimos s(15)=0:
v0cdot15-4,9cdot15^2=0 Longrightarrow 15,v0=4,9cdot225 Longrightarrow v0=4,9cdot22515=73,5

Resposta

(a) v(t)=v0-9,8,t.
(b) tmax=v09,8.
(c) smax=v0^219,6.
(d) v=-,v0 no instante em que atinge o solo.
(e) v0=73,5 m/s.

Exercícios relacionados