use o método de reduçāo de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+y=0, \quad t>0 ; \quad y_{1}(t)=t^{-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
t^{2}y''+3t\,y'+y=0,\quad t>0,
e informa uma solução conhecida y_{1}(t)=t^{-1}. O conteúdo aqui é o método de redução de ordem para achar uma segunda solução y_{2}(t).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão
y''+P(t)\,y'+Q(t)\,y=0
dividindo tudo por t^{2}. Assim,
y''+\frac{3}{t}y'+\frac{1}{t^{2}}y=0,
logo P(t)=\frac{3}{t}.

Passo 3

Para redução de ordem, a fórmula direta diz que, dada y_{1}(t), uma segunda solução é
y_{2}(t) =y_{1}(t)\,\int \frac{\exp\bigl(-\int P(t)\,dt\bigr)}{y_{1}(t)^{2}}\;dt.
Aqui temos y_{1}(t)=t^{-1} e P(t)=3/t.

Passo 4

Calculamos em pedaços:
  1. \displaystyle \int P(t)\,dt=\int \frac{3}{t}\,dt=3\ln t.
  2. \displaystyle \exp\bigl(-\int P(t)\,dt\bigr)=\exp(-3\ln t)=t^{-3}.
  3. O integrando fica
\frac{t^{-3}}{(t^{-1})^{2}} =\frac{t^{-3}}{t^{-2}} =t^{-1}.
  1. Portanto
\int t^{-1}\,dt=\ln t.

Passo 5

Substituindo de volta em y_{2}(t)=y_{1}(t)\,\bigl(\!\int\cdots dt\bigr), obtemos
y_{2}(t)=t^{-1}\,\ln t.

Resposta

A segunda solução independente é
y_{2}(t)=t^{-1}\ln t.

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