Questão 1. Seja F um corpo. Prove que:
alpha^2=beta^2 se, e somente se, alpha=beta ou alpha=-beta (ou, abreviadamente, " alpha= pm beta ").

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em um corpo F, que
alpha^2 = beta^2 Long<=ftrightarrow alpha = beta ou alpha = -beta
O conteúdo que vamos usar é a fatoração da diferença de quadrados e a propriedade de que em um corpo não existem divisores de zero (ou seja, se um produto é zero, um dos fatores deve ser zero).

Passo 2

Suponha primeiro que alpha^2 = beta^2. Então
alpha^2 - beta^2 = 0
Como em qualquer anel comutativo vale a identidade de fatoração da diferença de quadrados, temos
alpha^2 - beta^2 = (alpha - beta),(alpha + beta)
Logo
(alpha - beta),(alpha + beta) = 0

Passo 3

Em um corpo não há divisores de zero, ou seja, sempre que um produto é zero um dos fatores é zero. Aplicando isso a
(alpha - beta),(alpha + beta) = 0
segue que
alpha - beta = 0 ou alpha + beta = 0
Da primeira equação vem alpha = beta. Da segunda vem alpha = -beta. Portanto mostramos
alpha^2 = beta^2 ;Longrightarrow; alpha = beta ou alpha = -beta

Passo 4

Agora a implicação inversa é imediata. Se alpha = beta então alpha^2 = beta^2. Se alpha = -beta então
alpha^2 = (-beta)^2 = (-1)^2,beta^2 = 1cdotbeta^2 = beta^2
Logo em ambos os casos alpha^2 = beta^2.

Resposta

Ficou provado que em um corpo F vale
alpha^2 = beta^2 Long<=ftrightarrow alpha = beta ou alpha = -beta

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