Questão 1. Seja
um corpo. Prove que:
se, e somente se,
ou
(ou, abreviadamente, "
").
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em um corpo
, que
O conteúdo que vamos usar é a fatoração da diferença de quadrados e a propriedade de que em um corpo não existem divisores de zero (ou seja, se um produto é zero, um dos fatores deve ser zero).
Passo 2
Suponha primeiro que
. Então
Como em qualquer anel comutativo vale a identidade de fatoração da diferença de quadrados, temos
Logo
Passo 3
Em um corpo não há divisores de zero, ou seja, sempre que um produto é zero um dos fatores é zero. Aplicando isso a
segue que
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Portanto mostramos
Passo 4
Agora a implicação inversa é imediata. Se
então
. Se
então
Logo em ambos os casos
.
Resposta
Ficou provado que em um corpo
vale