Questão 4.
a) Defina os seguintes símbolos encontrados em equações de velocidade para a reação elementar genérica
.
b) Que quantidade, quando representada graficamente em função do tempo, vai produzir uma linha reta para uma reação de primeira ordem?
c) Como você pode calcular a constante de velocidade para uma reação de primeira ordem a partir do gráfico feito no item (b)?
b) Que quantidade, quando representada graficamente em função do tempo, vai produzir uma linha reta para uma reação de primeira ordem?
c) Como você pode calcular a constante de velocidade para uma reação de primeira ordem a partir do gráfico feito no item (b)?
Passo 1
O enunciado faz três perguntas claras:
a) Definir os símbolos que aparecem em equações de velocidade para a reação elementar genérica
.
b) Indicar qual quantidade, quando representada graficamente em função do tempo, produz uma linha reta para uma reação de primeira ordem.
c) Explicar como calcular a constante de velocidade a partir do gráfico do item (b).
a) Definir os símbolos
b) Indicar qual quantidade, quando representada graficamente em função do tempo, produz uma linha reta para uma reação de primeira ordem.
c) Explicar como calcular a constante de velocidade
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
- Trata-se de uma reação de primeira ordem (ou seja, a rapidez depende linearmente da concentração de
). - Os símbolos citados são os que costumam aparecer na lei integrada de velocidade de primeira ordem.
A partir daqui vamos derivar a fórmula, interpretar cada símbolo e mostrar, passo a passo, como obter
do gráfico.
Passo 2
Entendendo o que cada símbolo significa (prévia conceitual, sem formalismos pesados):
-
é a concentração da espécie no instante inicial . É o valor a partir do qual a reação começa. -
é a concentração da espécie no instante qualquer . É o que muda com o tempo conforme a reação ocorre. -
é o tempo de meia-vida: o tempo necessário para que a concentração de se reduza à metade do valor inicial. Em símbolos, é o tal que . -
é a constante de velocidade (ou constante de taxa) da reação de primeira ordem. Tem unidades de tempo^{-1} (por exemplo, ou ) e determina quão rápida é a transformação.
Passo 3
Derivando a forma integrada da lei de velocidade de primeira ordem (passo a passo, com explicação das operações):
- A definição diferencial para uma reação de primeira ordem é
Aqui
é a velocidade de consumo de
,
é a constante e
é a concentração em tempo
. A equação diz: a velocidade é proporcional à concentração.
2) Separar variáveis para integrar: coloque termos em de um lado e termos em
do outro:
2) Separar variáveis para integrar: coloque termos em
Explicação: dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
.
3) Integrar ambos os lados entre os limites correspondentes: de a
e de
a
:
3) Integrar ambos os lados entre os limites correspondentes: de
- As integrais são básicas:
e . Aplicando os limites:
- Reescrevendo:
Esta é a forma integrada da lei de velocidade de primeira ordem. É uma equação linear em
se a variável vertical for
.
Passo 4
Interpretando a equação integrada como uma reta (ligando com o item (b)):
A equação
A equação
tem o formato padrão de uma linha reta
se fizermos a correspondência:
-
, ou seja, o eixo vertical deve mostrar da concentração em cada tempo. -
, o eixo horizontal é o tempo. - intercepto
(valor de em ). - coeficiente angular
(a inclinação da reta).
Portanto, a quantidade que produz uma linha reta quando plotada contra o tempo é
. Em palavras simples: faça o gráfico de
da concentração ao longo do tempo; se a reação for de primeira ordem, os pontos ficarão alinhados.
Passo 5
Como calcular
a partir do gráfico (procedimento prático e fórmulas):
- Método do coeficiente angular (mais direto): ajuste uma reta aos pontos
(por regressão linear ou por dois pontos bem determinados). A inclinação da reta será . Pela correspondência acima,
Explicação prática: se a reta decresce (normal para consumo), sua inclinação é negativa; o sinal negativo remove isso e dá
.
2) Cálculo da inclinação a partir de dois pontos quaisquer do gráfico: escolha dois pontos e
. Então
2) Cálculo da inclinação a partir de dois pontos quaisquer do gráfico: escolha dois pontos
e
Este último jeito é útil se você tem duas medidas de concentração em tempos diferentes. Note que como
, a forma com log de razão aparece naturalmente.
3) Método alternativo usando meia-vida (quando conhecida): da equação integrada, colocando ,
3) Método alternativo usando meia-vida (quando conhecida): da equação integrada, colocando
Isolando
,
Este método é prático se você mede quanto tempo leva para a concentração cair à metade; não precisa plotar nada. (Lembrete:
.)
Passo 6
Resumo operacional (o que fazer na prova, passo a passo, sem mistério):
- Meça
em vários tempos . - Calcule
para cada ponto. Aqui é o logaritmo natural; não use log base 10 a menos que você saiba ajustar a inclinação (mas o resultado prático é o mesmo até um fator constante). - Plote
(eixo vertical) vs (eixo horizontal). Se os pontos estiverem aproximadamente alinhados, a reação é compatível com primeira ordem. - Ajuste uma reta e determine sua inclinação
. Então . Alternativamente, use dois pontos para calcular pela fórmula do passo anterior. - Se tiver a meia-vida, calcule
.
Você consegue — respira fundo, pega papel e caneta, segue os passos acima e extrai
tranquilamente. Vamos com calma que dá certo!
Resposta
a)
= concentração inicial de
em
.
= meia-vida (tempo para
cair à metade).
= concentração de
no tempo
.
= constante de velocidade da reação (unidades de tempo^{-1}).
b) O gráfico de em função de
produz uma linha reta para uma reação de primeira ordem.
c) A partir do gráfico do item (b), a inclinação da reta é ; portanto
. Alternativamente, usando dois pontos,
. Também vale
.
b) O gráfico de
c) A partir do gráfico do item (b), a inclinação da reta é