Questão 1: Densidade
Um cilíndro de altura total H e a area da base do cilindro A possui a massa total M, sua densidade é uma função linear em altura h
\rho=C h,
onde C é uma constante. Encontre o valor da constante C.
Dica: expresse seu resultado em H, M, e A.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de altura total H e área da base A, com massa total M. A densidade varia linearmente com a altura h segundo
\rho(h)=C\,h,
e queremos determinar a constante C em termos de M, H e A.

Passo 2

Para achar a massa total, somamos (integramos) a densidade sobre todo o volume. Considere uma “fatia” horizontal de espessura dh: seu volume é
dV = A\,dh
e sua massa é
dM = \rho(h)\,dV = C\,h\;A\,dh.
Portanto
M = \int_{0}^{H} dM = \int_{0}^{H} C\,h\,A\,dh.

Passo 3

Execute a integral:
M = C\,A \int_{0}^{H} h\,dh = C\,A \left[\frac{h^{2}}{2}\right]_{0}^{H} = C\,A \,\frac{H^{2}}{2}.
Isolando C, obtemos
C = \frac{2\,M}{A\,H^{2}}.

Resposta

C = \frac{2\,M}{A\,H^{2}}.

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