Questão 2: Equação de continuidade
Uma esfera uniforme possui uma massa total M. O seu raio r_{0} é uma função dada no tempo r_{0}(t)=2-\sin (\omega t)
(1) Encontre a densidade de corrente \vec{j}(\vec{r}, t) e a densidade \rho(\vec{r}, t), ambos de massa, como funções de \vec{r} e t.
(2) Mostre explicitamente que a equação de continuidade é válida, ou seja,
\nabla \cdot \vec{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} .
Dica: A forma da equação de continuidade é válida para qualquer tipo de carga conservada, até mesmo a carga eletrica em Física III.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de massa total M que expande e contrai de acordo com
r_{0}(t)=2-\sin(\omega t).
Queremos achar a densidade de massa \rho(\vec r,t) e a densidade de corrente de massa \vec j(\vec r,t), e depois verificar que
\nabla\cdot\vec j=-\frac{\partial\rho}{\partial t},
que é a equação de continuidade para massa.

Passo 2

Como a esfera é sempre homogênea, a densidade de massa dentro do raio r_{0}(t) é constante e vale massa sobre volume. Como o volume é \tfrac{4}{3}\pi [r_{0}(t)]^{3}, temos
\rho(\vec r,t)= \begin{cases} \dfrac{M}{\tfrac{4}{3}\pi\,[r_{0}(t)]^{3}},&|\vec r|\le r_{0}(t),\\\\ 0,&|\vec r|>r_{0}(t). \end{cases}

Passo 3

Para achar a corrente de massa, é mais fácil primeiro achar o campo de velocidade \vec v(\vec r,t) do “fluido” esférico. Numa expansão ou contração homogênea, cada ponto em \vec r se move radialmente com velocidade proporcional a \vec r, de modo que
\vec v(\vec r,t)=\dot r_{0}(t)\,\frac{\vec r}{r_{0}(t)}.
Aqui \dot r_{0}(t)=\frac{d}{dt}[\,2-\sin(\omega t)\,]=-\omega\cos(\omega t).

Passo 4

A densidade de corrente de massa é simplesmente \vec j=\rho\,\vec v. Logo, para |\vec r|\le r_{0}(t),
\vec j(\vec r,t) =\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi\,[r_{0}(t)]^{3}}\;\biggl(\dot r_{0}(t)\,\frac{\vec r}{r_{0}(t)}\biggr) =\frac{3M\,\dot r_{0}(t)}{4\pi\,[r_{0}(t)]^{4}}\;\vec r,
e para |\vec r|>r_{0}(t) temos \vec j=0.

Passo 5

Calculemos \nabla\cdot\vec j para |\vec r|<r_{0}(t). Como \vec j(\vec r,t)=A(t)\,\vec r com A(t)=3M\,\dot r_{0}/[4\pi\,r_{0}^{4}], vale
\nabla\cdot\vec j = \nabla\cdot\bigl(A(t)\,\vec r\bigr) =3\,A(t) =\frac{9M\,\dot r_{0}(t)}{4\pi\,[r_{0}(t)]^{4}} =3\,\frac{\dot r_{0}(t)}{r_{0}(t)}\; \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi\,[r_{0}(t)]^{3}} =3\,\frac{\dot r_{0}(t)}{r_{0}(t)}\,\rho.

Passo 6

Agora calculemos \partial\rho/\partial t dentro da esfera. Como \rho=M/[\,\tfrac{4}{3}\pi\,r_{0}^{3}(t)\,], temos
\frac{\partial\rho}{\partial t} =M\;\frac{d}{dt}\bigl(r_{0}^{-3}\bigr)\frac{1}{\tfrac{4}{3}\pi} =-3\,\frac{\dot r_{0}(t)}{r_{0}(t)}\; \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi\,[r_{0}(t)]^{3}} =-3\,\frac{\dot r_{0}(t)}{r_{0}(t)}\,\rho.

Passo 7

Comparando os resultados, dentro da esfera temos
\nabla\cdot\vec j =3\,\frac{\dot r_{0}}{r_{0}}\,\rho =-\frac{\partial\rho}{\partial t},
e fora da esfera ambos \rho e \vec j são zero, logo a equação de continuidade \nabla\cdot\vec j=-\partial\rho/\partial t vale em todo o espaço.

Resposta

\rho(\vec r,t)=\begin{cases} \displaystyle\dfrac{M}{\tfrac{4}{3}\pi\,[r_{0}(t)]^{3}},&|\vec r|\le r_{0}(t),\\\\ 0,&|\vec r|>r_{0}(t), \end{cases}
\n \vec j(\vec r,t)=\begin{cases} \displaystyle\dfrac{3M\,\dot r_{0}(t)}{4\pi\,[r_{0}(t)]^{4}}\;\vec r,&|\vec r|\le r_{0}(t),\\\\ 0,&|\vec r|>r_{0}(t), \end{cases}
\nE a verificação mostra que \nabla\cdot\vec j=-\partial\rho/\partial t.

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