Questão 3: Pneu
Considere que os pneus de um carro e de uma bicicleta são feitos de uma mesma borracha, que quebra na tensão crítica \sigma_{c}. Os raios dos pneus do carro e da bicicleta são, respectivamente, R e r. Quais são as pressões máximas que os pneus podem ser calibrados?
Dica: Quando ignoramos a espessura de material, a tensão crítica implica que a borracha vai quebrar sob uma força \sigma_{c} \Delta l por qualquer seção de reta com comprimento \Delta l na sua superfície. Primeiramente, tente fazer seus argumentos ignorando a pressão do ar.

Passo 1

O enunciado nos fala de dois pneus de mesma borracha (que arrebenta quando a tensão na parede atinge \sigma_{c}), um de raio R (carro) e outro de raio r (bicicleta). Queremos achar a pressão interna máxima p que não faça a borracha ultrapassar essa tensão crítica. Para isso, vamos modelar cada pneu como uma casca delgada (espessura desprezível) e usar o equilíbrio de forças em um anel da carcaça (lei de Laplace para membranas).

Passo 2

Considere um pequeno comprimento \Delta l ao longo do eixo do cilindro e faça um corte longitudinal dividindo o cilindro ao meio. A pressão interna p exerce uma força normal sobre a superfície projetada de largura 2R e comprimento \Delta l, de magnitude
F_p = p \,\bigl(2R\,\Delta l\bigr).
Essa força é equilibrada pela tensão de membrana T agindo nas duas bordas cortadas, totalizando
F_T = 2\,T\,\Delta l.
Em equilíbrio F_p=F_T, logo
p\,(2R\,\Delta l) \;=\;2\,T\,\Delta l \quad\Longrightarrow\quad T = p\,R.

Passo 3

A borracha rompe quando T atinge \sigma_{c}. Portanto a pressão máxima admissível é
T_{\max} = \sigma_{c} \quad\Longrightarrow\quad p_{\max} = \frac{T_{\max}}{R} = \frac{\sigma_{c}}{R}.
Esse é o valor para o pneu de raio R.

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio, para o pneu de raio r obtemos
p_{\max} = \frac{\sigma_{c}}{r}.

Resposta

Para o carro (raio R):
p_{\max} = \frac{\sigma_{c}}{R}.
Para a bicicleta (raio r):
p_{\max} = \frac{\sigma_{c}}{r}.

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