Questão 1. Derive:
y=x \operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é y = x\,\operatorname{cotg} x.
  • O que se quer é a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y').
  • Observação importante sobre domínio: a função só está definida quando \sin x \neq 0 (ou seja, x \neq k\pi, k\in\mathbb{Z}).

Passo 2

Qual regra usar? Aqui temos um produto entre duas funções de x: u(x)=x e v(x)=\operatorname{cotg} x. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
(uv)' = u'v + uv'.
Vou aplicar isso com u=x e v=\operatorname{cotg} x. Primeiro identifique as derivadas simples:
  • A derivada de u(x)=x é u'(x)=1.
  • Falta calcular v'(x)=(\operatorname{cotg} x)'. Vou achar isso no próximo passo.

Passo 3

Derivando \operatorname{cotg} x. Escrevemos \operatorname{cotg} x como quociente:
\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.
Usamos a regra do quociente: se f=\dfrac{p}{q} então f'=\dfrac{p'q-pq'}{q^2}. Aqui p(x)=\cos x e q(x)=\sin x. Calculando:
  • p'(x) = -\sin x,
  • q'(x) = \cos x.
    Aplicando a regra do quociente:
(\operatorname{cotg} x)' = \frac{(-\sin x)\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}.
Como \sin^2 x+\cos^2 x=1, temos
(\operatorname{cotg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}.
Essa forma também se escreve usando a cosecante:
(\operatorname{cotg} x)' = -\csc^2 x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto com u'=1 e v' = -\csc^2 x:
y' = u'v + uv' = 1\cdot\operatorname{cotg} x + x\cdot\bigl(-\csc^2 x\bigr).
Portanto
y' = \operatorname{cotg} x - x\,\csc^2 x.

Passo 5

Opcional — escrever em forma de fração para quem prefere eliminar as funções recíprocas:
\operatorname{cotg} x - x\,\csc^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{x}{\sin^2 x} = \frac{\sin x\cos x - x}{\sin^2 x}.
Lembrete para a prova: memorize que (\operatorname{cotg} x)'=-\csc^2 x. Na hora, identifique o produto, aplique a regra do produto e use essa derivada pronta — é rápido e seguro.

Resposta

\operatorname{cotg} x - x\,\csc^{2} x

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