Questão 2.(2.0) Dertermine as curvas de nível da função z=f(x, y) nos casos. Represente no plano cartesiano.
f(x, y)=2 x^2+3 y

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função f(x,y)=2x²+3y, ou seja, as linhas no plano (x,y) em que f(x,y) é constante igual a um valor k. Vamos usar o conceito de curva de nível: f(x,y)=k.

Passo 2

Igualamos f(x,y) a uma constante k:
2x^2+3y = k
e resolvemos para y em função de x e de k, isolando y:
3y = k - 2x^2 y = k - 2x^23

Passo 3

Cada valor de k gera uma curva de nível. A equação
y = k3 - 23,x^2
é uma família de parábolas voltadas para baixo, com vértice em (0,k/3). À medida que k aumenta, a parábola é deslocada para cima.

Passo 4

Para desenhar no plano cartesiano, basta escolher alguns valores de k (por exemplo k= -3,0,3,6), e esboçar cada parábola
y = -1 - tfrac23x^2, y = 0 - tfrac23x^2, y = 1 - tfrac23x^2, y = 2 - tfrac23x^2,
observando que são todas do mesmo formato, apenas deslocadas verticalmente.

Resposta

As curvas de nível são dadas por
y = k3 - tfrac23x^2,
para cada constante real k.

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