Questão 2.(2.0) Dertermine as curvas de nível da função
nos casos. Represente no plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as curvas de nível de uma função de duas variáveis, isto é, as curvas em que a função mantém um valor constante. O conteúdo aqui é curvas de nível de funções de várias variáveis, e vamos precisar usar a definição de nível, que diz que se f(x,y)=k então {(x,y)} forma a curva de nível para cada k.
Passo 2
Para achar a curva de nível, igualamos f(x,y) a uma constante k. No nosso caso temos f(x,y)=x^2+5y, logo definimos
Essa equação já é a forma implícita da curva de nível. Para entender melhor a forma geométrica, podemos resolver para y:
Passo 3
Percebemos que para cada valor de k temos uma parábola no plano xy: é uma família de parábolas com eixo paralelo ao eixo y, cada uma deslocada verticalmente de acordo com k.
No plano cartesiano, essas curvas aparecem como parábolas de concavidade voltada para baixo (coeficiente de negativo em y), com vértice em
.
No plano cartesiano, essas curvas aparecem como parábolas de concavidade voltada para baixo (coeficiente de
Resposta
As curvas de nível são as parábolas dadas por
ou equivalentemente
, para cada constante real
.