Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
25 x^{2}+4 y^{2}=100.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
25x^2 + 4y^2 = 100.
Este é um caso de superfície quádricas; precisamos reconhecer seu tipo e mostrar como desenhá-la.

Passo 2

Para colocar em forma padrão, dividimos ambos os lados por 100:
\frac{25x^2}{100} + \frac{4y^2}{100} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1.
Observe que não há nenhum termo em z.

Passo 3

A falta de dependência em z indica que, ao variar z, a equação não muda — ou seja, a superfície é gerada ao “extrudar” a elipse
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1
ao longo do eixo z. Dessa forma temos um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo z. A elipse tem semi-eixo de comprimento 2 na direção x e 5 na direção y.

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe no plano z=0 a elipse centrada na origem com vértices em (\pm2,0,0) e (0,\pm5,0).
  2. A partir de cada ponto dessa elipse, trace linhas retas paralelas ao eixo z, para ambos os sentidos de z. Essas linhas formam o cilindro elíptico que se estende indefinidamente.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo z. Sua seção por qualquer plano z= constante é a elipse
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1,
com semi-eixos 2 (em x) e 5 (em y). O esboço consiste em desenhar essa elipse no plano z=0 e projetá-la ao longo do eixo z.

Exercícios relacionados