Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
y^{2}+4 x^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar, em \mathbb{R}^3, a superfície dada por
y^{2} + 4x^{2} = 4.
O conteúdo aqui é o de identificação de superfícies quádricas; vamos precisar reconhecer o tipo de superfície (cilíndrica, parabólica etc.) e caracterizar sua seção no plano xy.

Passo 2

Note que a equação não envolve a coordenada z. Isso significa que, para cada valor fixo de z, o par (x,y) deve satisfazer sempre a mesma curva no plano xy. Geometricamente, isso define um cilindro cujo eixo é paralelo ao eixo z.

Passo 3

Vamos reescrever a equação no plano xy em forma padrão de elipse. Dividindo ambos os lados de y^{2} + 4x^{2} = 4 por 4, obtemos
\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1
. Essa é a forma canônica de uma elipse centrada na origem com semi-eixos ao longo de x e y.

Passo 4

Da equação
\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1
vemos que os comprimentos dos semi-eixos são
• no eixo x: a = 1,
• no eixo y: b = 2.
Portanto, a curva geratriz é a elipse de semi-eixos 1 (em x) e 2 (em y).

Passo 5

Como a equação não envolve z, essa elipse se repete para todo z\in\mathbb{R}. Logo, a superfície é o conjunto de todas as retas paralelas a z que cruzam cada ponto da elipse no plano z=0. Para esboçar:
  1. No plano z=0, desenhe a elipse \frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1.
  2. A partir de cada ponto dessa elipse, trace uma reta “vertical” (paralela ao eixo z).
  3. O conjunto dessas retas forma o cilindro elíptico.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo z, cuja seção em cada plano z=\text{const} é a elipse
\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1.

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