Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar, em
, a superfície dada por
O conteúdo aqui é o de identificação de superfícies quádricas; vamos precisar reconhecer o tipo de superfície (cilíndrica, parabólica etc.) e caracterizar sua seção no plano
.
Passo 2
Note que a equação não envolve a coordenada
. Isso significa que, para cada valor fixo de
, o par
deve satisfazer sempre a mesma curva no plano
. Geometricamente, isso define um cilindro cujo eixo é paralelo ao eixo
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação no plano
em forma padrão de elipse. Dividindo ambos os lados de
por
, obtemos
. Essa é a forma canônica de uma elipse centrada na origem com semi-eixos ao longo de
e
.
Passo 4
Da equação
vemos que os comprimentos dos semi-eixos são
• no eixo :
,
• no eixo :
.
Portanto, a curva geratriz é a elipse de semi-eixos (em
) e
(em
).
• no eixo
• no eixo
Portanto, a curva geratriz é a elipse de semi-eixos
Passo 5
Como a equação não envolve
, essa elipse se repete para todo
. Logo, a superfície é o conjunto de todas as retas paralelas a
que cruzam cada ponto da elipse no plano
. Para esboçar:
- No plano
, desenhe a elipse . - A partir de cada ponto dessa elipse, trace uma reta “vertical” (paralela ao eixo
). - O conjunto dessas retas forma o cilindro elíptico.
Resposta
A superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo
, cuja seção em cada plano
é a elipse