Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
y=z^{2}+x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
y = x^2 + z^2.
O conteúdo é reconhecimento de quadricas e uso de interseções com planos coordenados para entender a forma da superfície.

Passo 2

Analisamos as interseções com planos coordenados que contêm o eixo y:
Se fixamos z=0, a equação fica
y = x^2,
ou seja, uma parábola no plano x\!y.
Se fixamos x=0, obtemos
y = z^2,
ou seja, outra parábola idêntica no plano z\!y.

Passo 3

Analisamos as interseções com planos paralelos ao plano x\!z (planos horizontais y=c):
Para cada constante c\ge0,
x^2 + z^2 = c
é um círculo de raio \sqrt{c}.
Para c<0 não há pontos reais.

Passo 4

Da combinação dessas informações concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico com vértice na origem, simétrico em torno do eixo y e que se abre para valores de y maiores.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe o eixo y vertical.
  2. Desenhe, em vários níveis y=c\ge0, círculos de raio \sqrt{c}.
  3. Ligue suavemente essas “fatias” circulares formando uma “tigela” que cresce conforme y aumenta.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de equação
y = x^2 + z^2,
com vértice em (0,0,0), eixo paralelo ao eixo y e aberto no sentido de y positivo.
Esboço (vista em perspectiva):
  • Eixo y vertical, eixos x e z no plano horizontal.
  • Círculos de raio \sqrt{y} para várias fatias y= constante, unidos por uma casca lisa que se amplia com y.

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