Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em
dada por
O conteúdo é reconhecimento de quadricas e uso de interseções com planos coordenados para entender a forma da superfície.
Passo 2
Analisamos as interseções com planos coordenados que contêm o eixo
:
Se fixamos , a equação fica
Se fixamos
ou seja, uma parábola no plano
.
Se fixamos , obtemos
Se fixamos
ou seja, outra parábola idêntica no plano
.
Passo 3
Analisamos as interseções com planos paralelos ao plano
(planos horizontais
):
Para cada constante ,
Para cada constante
é um círculo de raio
.
Para não há pontos reais.
Para
Passo 4
Da combinação dessas informações concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico com vértice na origem, simétrico em torno do eixo
e que se abre para valores de
maiores.
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe o eixo
vertical. - Desenhe, em vários níveis
, círculos de raio . - Ligue suavemente essas “fatias” circulares formando uma “tigela” que cresce conforme
aumenta.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de equação
com vértice em
, eixo paralelo ao eixo
e aberto no sentido de
positivo.
Esboço (vista em perspectiva):
- Eixo
vertical, eixos e no plano horizontal. - Círculos de raio
para várias fatias constante, unidos por uma casca lisa que se amplia com .