Questão 2 - Descreva e esboce as seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}.
-x-y=1.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar em \mathbb{R}^3 a superfície dada por
-\,x \;-\; y \;=\; 1.
O conteúdo aqui é geometria analítica em três dimensões, mais especificamente reconhecimento de planos. Vamos
  1. identificar o vetor normal,
  2. achar interseções com os eixos coordenados,
  3. escrever uma forma paramétrica,
  4. descrever a posição e orientação do plano,
  5. e então esboçá-lo.

Passo 2

Observe que a equação pode ser rearranjada para
x + y = -1.
Os coeficientes de x,y,z em x+y+0\cdot z=-1 formam o vetor normal ao plano. Logo, um vetor normal é
\mathbf{n} = (1,\,1,\,0).

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo x: fazemos y=0 e z=0, de onde x = -1. Ponto (-1,0,0).
  • Interseção com o eixo y: fazemos x=0 e z=0, de onde y = -1. Ponto (0,-1,0).
  • Interseção com o eixo z: exigiria x=0 e y=0, mas 0+0\neq -1. Portanto não há interseção com o eixo z; o plano é paralelo a ele.

Passo 4

Uma forma paramétrica útil é escolher parâmetros u,v\) tais que \[\begin{cases} x = u,\\\ y = -1 - u,\\\ z = v. \end{cases}
Em forma vetorial:
\mathbf{r}(u,v) = (u,\,-1-u,\,v) = (-1,0,0) + u\,(1,-1,0) + v\,(0,0,1).
Isso mostra que o plano passa por (-1,0,0)\] e é gerado pelos vetores de direção \((1,-1,0) e (0,0,1).

Passo 5

Como \mathbf{n}=(1,1,0) tem componente zero em z, o plano é vertical, paralelo ao eixo z. Sua interseção com o plano xy é a reta x+y=-1, inclinada a 45^\circ em relação aos eixos x e y.

Resposta

A superfície é o plano
x + y = -1
em \mathbb{R}^3, que é vertical (paralelo ao eixo z) e intercepta o plano xy na reta x+y=-1. No esboço, traça-se a reta (-1,0,0) (0,-1,0) no plano xy e, a partir dela, projeta-se linhas paralelas ao eixo z.

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