Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
-4 x^{2}-6 x+y^{2}-10 y=72.

Passo 1

O enunciado dá a curva em \mathbb{R}^2
-4x^{2}-6x+y^{2}-10y=72
e pede para identificar de que seção cônica ela se trata. Para isso, vamos completar quadrados nos termos em x e em y e reescrever na forma canônica de uma cônica.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y:
-4x^{2}-6x \quad+\quad y^{2}-10y \;=\;72.
No grupo de x fatoramos -4:
-4\bigl(x^{2}+\tfrac{3}{2}x\bigr),
e completamos o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}+\tfrac{3}{2}x = \bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} - \tfrac{9}{16}.
Logo
-4\bigl(x^{2}+\tfrac{3}{2}x\bigr) = -4\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} + 4\cdot\tfrac{9}{16} = -4\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} + \tfrac{9}{4}.
No grupo de y temos
y^{2}-10y = (y-5)^{2}-25.

Passo 3

Substituindo na equação original e reunindo constantes no lado direito:
-4\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} + \tfrac{9}{4} \;+\;(y-5)^{2}-25 =72 \quad\Longrightarrow\quad -4\bigl(x+\tfrac{3}{4}\bigr)^{2} + (y-5)^{2} = 72+25 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{379}{4}.
Dividindo tudo por \tfrac{379}{4} obtemos a forma canônica
\frac{(y-5)^{2}}{\tfrac{379}{4}} \;-\; \frac{4\,(x+\tfrac{3}{4})^{2}}{\tfrac{379}{4}} =1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(y-5)^{2}}{\tfrac{379}{4}} \;-\; \frac{(x+\tfrac{3}{4})^{2}}{\tfrac{379}{16}} =1.

Passo 4

Como a diferença de quadrados é igual a 1, trata-se de uma hipérbole. O centro está em \bigl(-\tfrac{3}{4},5\bigr), e o eixo transverso é vertical (porque o termo positivo é o de (y-5)^2).

Resposta

A curva é uma hipérbole com centro em \bigl(-\tfrac{3}{4},5\bigr) e eixo transverso vertical.

Exercícios relacionados