Questão 1 - Identifique as curvas em \mathbb{R}^{2} derivadas de seções cônicas.
3 x^{2}-6 x+2 y^{2}-10 y=100.

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de seção cônica em \mathbb{R}^2 é dada pela equação
3x^{2} - 6x + 2y^{2} - 10y = 100.
O conteúdo aqui é classificação de cônicas sem termo xy pela técnica de completar quadrados.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y:
3\bigl(x^{2}-2x\bigr)\;+\;2\bigl(y^{2}-5y\bigr)\;=\;100.
Em seguida, completamos o quadrado em cada grupo:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \quad y^{2}-5y = \bigl(y-\tfrac52\bigr)^{2} - \tfrac{25}{4}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
3\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) \;+\; 2\bigl((y-\tfrac52)^{2}-\tfrac{25}{4}\bigr) = 100.
Distribuindo e somando constantes:
3(x-1)^{2} - 3 \;+\; 2(y-\tfrac52)^{2} - \tfrac{25}{2} = 100 \quad\Longrightarrow\quad 3(x-1)^{2} + 2(y-\tfrac52)^{2} = 100 + 3 + \tfrac{25}{2} = \tfrac{231}{2}.

Passo 4

Para ver a forma padrão, dividimos ambos os lados por \tfrac{231}{2}:
\frac{3(x-1)^{2}}{\tfrac{231}{2}} \;+\; \frac{2(y-\tfrac52)^{2}}{\tfrac{231}{2}} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{(x-1)^{2}}{\tfrac{231}{6}} \;+\; \frac{(y-\tfrac52)^{2}}{\tfrac{231}{4}} = 1.
Como ambos os denominadores são positivos e não há termo misto xy, trata‐se de uma elipse cujos semi-eixos são
a = \sqrt{\frac{231}{4}} = \frac{\sqrt{231}}{2}, \quad b = \sqrt{\frac{231}{6}} = \sqrt{\frac{77}{2}}.

Resposta

A curva é uma elipse de centro \bigl(1,\tfrac52\bigr) e eixos paralelos aos eixos coordenados.

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