Questão 7 Identificar a superfície dada em coordenadas cilíndricas ou esféricas
\rho=4 z

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada em coordenadas esféricas pela equação
\rho = 4z.
Aqui usamos o sistema de coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi), em que \rho é a distância à origem, \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z, e vale a relação
z = \rho\cos\varphi.

Passo 2

Substituímos z = \rho\cos\varphi em \rho = 4z:
\rho = 4(\rho\cos\varphi).
Como queremos \rho\neq0, podemos dividir por \rho e obter
1 = 4\cos\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi = \tfrac14.

Passo 3

Da igualdade \cos\varphi = \tfrac14 segue que o ângulo polar \varphi é constante:
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac14\bigr).
Em coordenadas esféricas, isso caracteriza um cone reto cujas geratrizes fazem o ângulo \operatorname{arccos}(\tfrac14) com o eixo z.

Passo 4

Para ver em coordenadas cartesianas, usemos também \rho^2 = r^2 + z^2, onde r^2 = x^2 + y^2. Da equação original \rho = 4z segue
r^2 + z^2 = 16\,z^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 15\,z^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 15\,z^2,
com z\ge0 (pois \rho\ge0 e o lado direito de \rho=4z exige z\ge0).

Resposta

A superfície é um cone circular reto de semi-ângulo
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac14\bigr)
em torno do eixo z, que em coordenadas cartesianas satisfaz
x^2 + y^2 = 15\,z^2,\quad z\ge0.

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