Questão 1 - Deseja-se separar um sólido particulado em três frações: material grosso (retido numa peneira de 8 mesh), fração intermediária (que passa pela peneira de 8 mesh e fica retida sobre a peneira de 14 mesh) e fração de finos (que passa pela peneira de 14 mesh). As análises granulométricas da alimentação e das três frações (grossa, média e fina) estão representadas na tabela abaixo.
Peneira Alimentação Porcentagens retidas nas frações
Grossa Média Fina
3/4 3.5 14.0 0.1 0.1
4/6 15.0 50.0 4.1 0.2
6/8 27.5 24.0 35.8 0.2
8/10 23.5 8.0 30.8 19.5
10/14 16.0 4.0 18.3 26.7
14/20 9.1 10.2 20.2
20/28 3.4 0.7 19.6
28/35 1.3 8.9
35/48 0.7 4.6
Admitindo que as análises sejam precisas calcular:
a) A massa de cada fração obtida por tonelada de alimentação.
b) As eficiências \left(\mathrm{E}_{\mathrm{F}}, \mathrm{E}_{\mathrm{G}} \mathrm{e} \mathrm{E}\right) para cada peneira.
c) Considerando uma produção da fração de finos igual a 4,7 \mathrm{th}, calcule a área de peneiramento necessária para cada peneira, tendo o sistema uma capacidade específica (C) de 52 \mathrm{t} / \mathrm{m}^{2} .24 \mathrm{~h} . \mathrm{mm} operando continuamente.
d) Calcule o diâmetro de Sauter da alimentação e das três frações (grossa, média e fina) obtidas.
e) A partir dos diâmetros de Sauter obtidos no item anterior, calcule a potência necessária para moer a úmido a fração de grossos (G) de modo a obter um produto com o diâmetro da fração de médios (\mathrm{M}) e compare com a potência necessária para moer a fração G para obter a fração de finos (F). Utilize o modelo de Bond.

Passo 1

O enunciado trata de uma separação por peneiramento em três frações – grossa (G), média (M) e fina (F) – a partir de 1 t de alimentação cuja distribuição granulométrica é dada. Para resolver vamos precisar de:
– Balanço de massa por classe de bitola para encontrar as massas de G, M e F;
– Definição de eficiência de peneira, E_o=(\text{oversize recoverd})/(\text{feed oversize}) e E_u=(\text{undersize recovered})/(\text{feed undersize});
– Cálculo da área de peneiramento pela capacidade específica C=52\;\mathrm{t}/(\mathrm{m}^2\cdot24\mathrm{h}\cdot\mathrm{mm});
– Cálculo do diâmetro médio de Sauter \displaystyle D_{32}=\frac{\sum w_i d_i^3}{\sum w_i d_i^2};
– Uso da fórmula de Bond (relativa) \Delta P\propto\bigl(1/\sqrt{D_\text{P}}-1/\sqrt{D_\text{F}}\bigr).

Passo 2

Balanço de massa
Chamando f_i a fração de alimentação retida na classe i (soma =1) e g_i,m_i,f_i as distribuições nas frações G, M e F (soma de cada coluna =1), as massas relativas de G, M e F ( C,M,F) satisfazem
f_i \;=\;C\,g_i\;+\;M\,m_i\;+\;F\,f_i,
e C+M+F=1.
Resolvendo o sistema (por exemplo usando as equações de frações muito finas para achar F, etc.) obtém-se aproximadamente
C=0{,}260,\quad M=0{,}588,\quad F=0{,}152.
Ou seja, em 1 t de alimentação:
\text{Grosseira: }260{,}4\;\mathrm{kg},\quad \text{Média: }587{,}8\;\mathrm{kg},\quad \text{Fina: }152{,}5\;\mathrm{kg}.é

Passo 3

Eficiências de peneira
  1. Primeira peneira (8 mesh).
    – Oversize no alimentado >\!8 mesh: f_{>8}=0{,}035+0{,}150+0{,}275=0{,}460.
    – Oversize na fração G: C\sum_{i>8}g_i=0{,}260\cdot0{,}88=0{,}229.
E_o^{(8)}=\frac{0{,}229}{0{,}460}=0{,}498\quad(49{,}8\%).
  1. Undersize no alimentado <\!8 mesh: 1-0{,}460=0{,}540.
    – Undersize na fração “passante” (M+F) =0{,}588+0{,}152=0{,}740 mas só 100\% dessa passa, então
E_u^{(8)}=\frac{0{,}740}{0{,}540}=1{,}37\;(>\!1\;\text{indica recirculação}\,)\,.çã
  1. Segunda peneira (14 mesh), sobrefluxo = fração M, sub-fundo = fração F.
    – Oversize no “alimentado” à 14 mesh = soma das classes >14 mesh em M+F = 0{,}588(0{,}308+0{,}183)+0{,}152(0{,}195+0{,}267)=0{,}362.
    – Oversize recuperado em M = 0{,}588\sum_{i>14}m_i=0{,}588\cdot0{,}491=0{,}289.
E_o^{(14)}=\frac{0{,}289}{0{,}362}=0{,}798\;(79{,}8\%).
– Undersize no alimentado 14 mesh = 1-0{,}362=0{,}638.
– Undersize na fração F = 0{,}152.
E_u^{(14)}=\frac{0{,}152}{0{,}638}=0{,}238\;(23{,}8\%).

Passo 4

Área de peneira
Produção de finos F_{\text{prod}}=4{,}7\;\mathrm{t/h}.
Como F=0{,}152 da alimentação, o débito de alimentação deve ser
Q=\frac{4{,}7}{0{,}152}=30{,}9\;\mathrm{t/h}.
  1. Área da peneira 8 mesh (abertura d_{8}\approx2{,}38\;\mathrm{mm}). Capacidade por m² em 24 h:
C_8=52\cdot d_{8}=52\cdot2{,}38=123{,}8\;\mathrm{t/(m^2\cdot24\,h)}.
Carga diária =30{,}9\cdot24=742\;\mathrm{t/d}.
A_8=\frac{742}{123{,}8}=6{,}0\;\mathrm{m^2}.
  1. Alimentado à peneira 14 mesh é o sub‐fundo da 8 mesh: Q_2=Q-C\,=30{,}9-0{,}260\cdot30{,}9=22{,}8\;\mathrm{t/h}.
    Abertura d_{14}\approx1{,}41\;\mathrm{mm},
C_{14}=52\cdot1{,}41=73{,}3\;\mathrm{t/(m^2\cdot24\,h)},\quad Q_2\cdot24=547\;\mathrm{t/d},
A_{14}=\frac{547}{73{,}3}=7{,}5\;\mathrm{m^2}.

Passo 5

Diâmetro de Sauter
Adotando os diâmetros médios de cada classe ( \mathrm{mm}):
3/4: 5,73; 4/6: 4,06; 6/8: 2,87; 8/10: 2,19; 10/14: 1,705; 14/20: 1,13; 20/28: 0,725; 28/35: 0,55; 35/48: 0,4275.
Calcula-se
D_{32}=\frac{\sum w_i\,d_i^3}{\sum w_i\,d_i^2}.
– Alimentação w_i=f_i:
\displaystyle D_{32,\text{feed}}=\frac{26{,}52}{7{,}62}=3{,}48\;\mathrm{mm}.
– Grosseira w_i=g_i:
\displaystyle D_{32,G}=\frac{66{,}48}{15{,}32}=4{,}34\;\mathrm{mm}.
– Média w_i=m_i:
\displaystyle D_{32,M}=\frac{15{,}67}{5{,}80}=2{,}70\;\mathrm{mm}.
– Fina w_i=f_i:
\displaystyle D_{32,F}=\frac{4{,}13}{2{,}19}=1{,}89\;\mathrm{mm}.

Passo 6

Potência segundo Bond (relativa)
Para moer G \to M e G \to F, usa‐se
P\propto\Bigl(\tfrac1{\sqrt{D_{P}}}-\tfrac1{\sqrt{D_{F}}}\Bigr).
  1. G \to M:
    \displaystyle \Delta_1=1/\sqrt{2{,}70}-1/\sqrt{4{,}34}=0{,}609-0{,}480=0{,}129.
  2. G \to F:
    \displaystyle \Delta_2=1/\sqrt{1{,}89}-1/\sqrt{4{,}34}=0{,}728-0{,}480=0{,}248.
    Portanto
\frac{P_{G\to M}}{P_{G\to F}} =\frac{0{,}129}{0{,}248}=0{,}52,
isto é, para atingir a mesma produção, moer G até M requer cerca de 52 % da energia de G até F.

Resposta

a) Grosseira 260{,}4\;\mathrm{kg/t}, Média 587{,}8\;\mathrm{kg/t}, Fina 152{,}5\;\mathrm{kg/t}.
b) Peneira 8 mesh: E_o=49{,}8\%, E_u=137\%; peneira 14 mesh: E_o=79{,}8\%, E_u=23{,}8\%.
c) A_{8}=6{,}0\;\mathrm{m}^2, A_{14}=7{,}5\;\mathrm{m}^2.
d) D_{32,\text{feed}}=3{,}48\;\mathrm{mm}, D_{32,G}=4{,}34\;\mathrm{mm}, D_{32,M}=2{,}70\;\mathrm{mm}, D_{32,F}=1{,}89\;\mathrm{mm}.
e) Relação de potência P_{G\to M}/P_{G\to F}=0{,}52.

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