Questão 3.7 A equação geral de um campo de velocidade em um escoamento é dada por:
, onde
é uma constante. A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a) Classificar o escoamento quanto à compressibilidade e à rotação.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Considerando a influência da gravidade (
) e sabendo que o escoamento é invíscido e que o fluido possui uma massa específica
, determinar o campo de pressão
.
Resp.: a) Escoamento incompressível e irrotacional. b)
.
a) Classificar o escoamento quanto à compressibilidade e à rotação.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Considerando a influência da gravidade (
Resp.: a) Escoamento incompressível e irrotacional. b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Campo de velocidade
onde é constante. - Gravidade:
. - Fluido invíscido com massa específica
.
- Campo de velocidade
-
Perguntas:
a) Classificar o escoamento quanto à compressibilidade e à rotação (isto é, verificar se é incompressível/compressível e se é rotacional/irrotacional).
b) Determinar a expressão do vetor aceleração(aceleração material).
c) Usando a gravidade e sabendo que o escoamento é invíscido, determinar o campo de pressão.
Passo 2
Verificar compressibilidade: calcular a divergência do campo de velocidade e interpretar.
-
Definição usada: a divergência de
é ondesão as componentes de nas direções . -
Aqui
. Então Logo -
Interpretação: como
em todo o espaço, o escoamento é incompressível (divergência nula significa volume infinitesimal preservado no escoamento).
Passo 3
Verificar rotação (vorticidade): calcular
.
-
Definição usada: a vorticidade (ou rotação) é
-
Calcular derivadas (novamente
): Portanto -
Interpretação: vorticidade zero implica escoamento irrotacional.
Passo 4
Determinar a aceleração material
.
-
Fórmula usada (aceleração material ou convectiva, para escoamento estacionário ou não):Aqui o campo não depende do tempo explicitamente, então
e -
Expandindo componente a componente:
- Para a componente
(direção ): Sabendo e , - Para a componente
(direção ): pois e demais derivadas nulas. - Para a componente
(direção ): Aqui e , assim
- Para a componente
-
Portanto a aceleração é
Passo 5
Determinar o campo de pressão
usando as equações de Euler (escoamento invíscido).
-
Equação de Euler (forma estacionária) usada:onde
. Reescrevendo: -
Substituir
encontrado e : Assim as componentes do gradiente desão
Passo 6
Integrar as componentes para obter
.
-
Integrar em
: ondeé função arbitrária de . -
Diferenciando essa expressão em
e igualando a encontramos logocomfunção de só. -
Agora a dependência em
: usando , Integrando em: ondeé constante arbitrária (constante de integração, por exemplo pressão num ponto de referência). -
Reunindo tudo:Podemos escrever de forma compacta:
-
Observação física:
é uma constante arbitrária que depende da referência de pressão escolhida (por exemplo pressão conhecida num ponto).
Resposta
a) Escoamento incompressível e irrotacional.
b)
c) onde
é constante.
b)
c)