Questão 3.7 A equação geral de um campo de velocidade em um escoamento é dada por: \mathbf{V}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})=\mathbf{M x} \overrightarrow{\mathbf{i}}+\mathbf{M y} \overrightarrow{\mathbf{j}}-\mathbf{2} \mathbf{M z} \overrightarrow{\mathbf{k}}, onde M é uma constante. A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a) Classificar o escoamento quanto à compressibilidade e à rotação.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração.
c) Considerando a influência da gravidade ( \vec{g}=-g \overrightarrow{\mathrm{k}} ) e sabendo que o escoamento é invíscido e que o fluido possui uma massa específica \rho, determinar o campo de pressão \mathrm{p}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}).
Resp.: a) Escoamento incompressível e irrotacional. b) a=M^{2} x i+M^{2} y j+4 M^{2} z k.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Campo de velocidade \mathbf{V}(x,y,z)=M x\,\mathbf{i}+M y\,\mathbf{j}-2M z\,\mathbf{k},onde M é constante.
    • Gravidade: \mathbf{g}=-g\,\mathbf{k}.
    • Fluido invíscido com massa específica \rho.
  • Perguntas:
    a) Classificar o escoamento quanto à compressibilidade e à rotação (isto é, verificar se é incompressível/compressível e se é rotacional/irrotacional).
    b) Determinar a expressão do vetor aceleração \mathbf{a} (aceleração material).
    c) Usando a gravidade e sabendo que o escoamento é invíscido, determinar o campo de pressão p(x,y,z).

Passo 2

Verificar compressibilidade: calcular a divergência do campo de velocidade e interpretar.
  • Definição usada: a divergência de \mathbf{V} é
    \nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z},
    onde u,v,w são as componentes de \mathbf{V} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.
  • Aqui u=Mx,\;v=My,\;w=-2Mz. Então
    \frac{\partial u}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=M,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=-2M.
    Logo
    \nabla\cdot\mathbf{V}=M+M-2M=0.
  • Interpretação: como \nabla\cdot\mathbf{V}=0 em todo o espaço, o escoamento é incompressível (divergência nula significa volume infinitesimal preservado no escoamento).

Passo 3

Verificar rotação (vorticidade): calcular \nabla\times\mathbf{V}.
  • Definição usada: a vorticidade (ou rotação) é
    \nabla\times\mathbf{V}=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
  • Calcular derivadas (novamente u=Mx,\;v=My,\;w=-2Mz):
    \frac{\partial w}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial w}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0.
    Portanto
    \nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}.
  • Interpretação: vorticidade zero implica escoamento irrotacional.

Passo 4

Determinar a aceleração material \mathbf{a}.
  • Fórmula usada (aceleração material ou convectiva, para escoamento estacionário ou não):
    \mathbf{a}=\frac{\partial\mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
    Aqui o campo não depende do tempo explicitamente, então \partial\mathbf{V}/\partial t=\mathbf{0} e
    \mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
  • Expandindo componente a componente:
    • Para a componente u (direção \mathbf{i}): (\mathbf{V}\cdot\nabla)u = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}.Sabendo \partial u/\partial x=M,\\ \partial u/\partial y=0,\\ \partial u/\partial z=0 e u=Mx,\\ v=My,\\ w=-2Mz, (\mathbf{V}\cdot\nabla)u = (Mx)\cdot M = M^{2}x.
    • Para a componente v (direção \mathbf{j}): (\mathbf{V}\cdot\nabla)v = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z} = (My)\cdot M = M^{2}y,pois \partial v/\partial y=M e demais derivadas nulas.
    • Para a componente w (direção \mathbf{k}): (\mathbf{V}\cdot\nabla)w = u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}.Aqui \partial w/\partial z=-2M e \partial w/\partial x=\partial w/\partial y=0, assim (\mathbf{V}\cdot\nabla)w = w\cdot(-2M)=(-2Mz)(-2M)=4M^{2}z.
  • Portanto a aceleração é
    \mathbf{a}=M^{2}x\,\mathbf{i}+M^{2}y\,\mathbf{j}+4M^{2}z\,\mathbf{k}.

Passo 5

Determinar o campo de pressão p(x,y,z) usando as equações de Euler (escoamento invíscido).
  • Equação de Euler (forma estacionária) usada:
    \rho\,\mathbf{a}=-\nabla p+\rho\,\mathbf{g},
    onde \mathbf{g}=-g\,\mathbf{k}. Reescrevendo:
    \nabla p=-\rho\,\mathbf{a}+\rho\,\mathbf{g}.
  • Substituir \mathbf{a} encontrado e \mathbf{g}:
    \nabla p = -\rho\big(M^{2}x\,\mathbf{i}+M^{2}y\,\mathbf{j}+4M^{2}z\,\mathbf{k}\big) + \rho(-g\,\mathbf{k}).
    Assim as componentes do gradiente de p são
    \frac{\partial p}{\partial x}=-\rho M^{2} x,\qquad \frac{\partial p}{\partial y}=-\rho M^{2} y,\qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho(4M^{2}z+g).

Passo 6

Integrar as componentes para obter p(x,y,z).
  • Integrar em x:
    p(x,y,z)=-\rho\frac{M^{2}}{2}x^{2}+F(y,z),
    onde F é função arbitrária de y,z.
  • Diferenciando essa expressão em y e igualando a \partial p/\partial y encontramos
    \frac{\partial p}{\partial y}=-\rho M^{2}y = \frac{\partial}{\partial y}\Big(-\rho\frac{M^{2}}{2}x^{2}+F(y,z)\Big)=\frac{\partial F}{\partial y},
    logo
    F(y,z)=-\rho\frac{M^{2}}{2}y^{2}+G(z),
    com G função de z só.
  • Agora a dependência em z: usando \partial p/\partial z=-\rho(4M^{2}z+g),
    \frac{dG}{dz}=-\rho(4M^{2}z+g).
    Integrando em z:
    G(z)=-\rho\big(2M^{2}z^{2}+g z\big)+C,
    onde C é constante arbitrária (constante de integração, por exemplo pressão num ponto de referência).
  • Reunindo tudo:
    p(x,y,z)=-\rho\frac{M^{2}}{2}x^{2}-\rho\frac{M^{2}}{2}y^{2}-\rho\big(2M^{2}z^{2}+g z\big)+C.
    Podemos escrever de forma compacta:
    p(x,y,z)=-\frac{\rho M^{2}}{2}\big(x^{2}+y^{2}+4z^{2}\big)-\rho g z + C.
  • Observação física: C é uma constante arbitrária que depende da referência de pressão escolhida (por exemplo pressão conhecida num ponto).

Resposta

a) Escoamento incompressível e irrotacional.
b) \mathbf{a}=M^{2}x\,\mathbf{i}+M^{2}y\,\mathbf{j}+4M^{2}z\,\mathbf{k}.
c) \displaystyle p(x,y,z)=-\frac{\rho M^{2}}{2}\big(x^{2}+y^{2}+4z^{2}\big)-\rho g z + C, onde C é constante.

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