Questão 3. Determinar as equações normais e afins (caso seja possível) da reta que passa por
A=(0,2) e é paralela à reta s:-4 x-15 y=4.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala assim: “A gente quer a reta que passa pelo ponto A=(0,2) e é paralela à reta
s:,-4x - 15y = 4
Isso cai em Geometria Analítica, mais especificamente em equação de reta (forma normal+forma afim). Pra resolver, vamos usar que:
  • toda reta em forma geral é ax + by + c = 0, com vetor normal vec n=(a,b);
  • retas paralelas têm vetores normais colineares.

Passo 2

Primeiro, identifica o vetor normal da reta s. Como ela é
s:;-4x - 15y = 4,
o vetor normal é
vec ns = (-4,,-15)
Se nossa reta r é paralela a s, ela pode ter o mesmo vetor normal. Logo a forma geral de r é
-4x - 15y + d = 0,
onde d é uma constante que a gente ainda vai descobrir usando o ponto A.

Passo 3

Agora, impõe que A=(0,2) satisfaça essa equação. Substituindo x=0 e y=2:
-4cdot 0 ;-;15cdot 2 ;+; d ;=;0 Longrightarrow -30 + d = 0 Longrightarrow d = 30
Portanto a forma normal (geral) da reta é
boxed-4x - 15y + 30 = 0
(Se preferir, multiplica tudo por -1 e fica 4x + 15y - 30 = 0.)

Passo 4

Pra achar a forma afim (reduzida), basta isolar y em
-4x - 15y + 30 = 0
Fazendo as contas:
-15y = 4x - 30 Longrightarrow y = -415,x + 2

Resposta

Equação normal (geral):
boxed-4x - 15y + 30 = 0
Equação afim (reduzida):
boxedy = -415x + 2

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