Questão 4: Determinar as equações de reta que passam pelos pontos A(1,2,-4) e B(4,-2,1).
a) Equação vetorial da reta
b) Equações paramétricas
c) Equações simétricas
d) Equações reduzidas na variável y
Passo 1
O enunciado pede as diferentes formas de representar a reta que passa por A(1,2,-4) e B(4,-2,1). O conteúdo é geometria analítica no espaço: precisamos do vetor direcional da reta, depois escrever a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e, por fim, as equações reduzidas na variável y.
Passo 2
O vetor direcional da reta é dado por
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\,-2-2,\,1-(-4)) = (3,-4,5).
Passo 3
Com o ponto A como ponto de passagem e \overrightarrow{AB} como direção, a equação vetorial é
\mathbf{r} = (1,2,-4) + t\,(3,-4,5).
Daí as equações paramétricas vêm direto:
x = 1 + 3t,\quad y = 2 - 4t,\quad z = -4 + 5t.
Passo 4
Para as equações simétricas igualamos cada expressão ao parâmetro t: