Questão 4: Determinar as equações de reta que passam pelos pontos A(1,2,-4) e B(4,-2,1).
a) Equação vetorial da reta
b) Equações paramétricas
c) Equações simétricas
d) Equações reduzidas na variável y

Passo 1

O enunciado pede as diferentes formas de representar a reta que passa por A(1,2,-4) e B(4,-2,1). O conteúdo é geometria analítica no espaço: precisamos do vetor direcional da reta, depois escrever a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e, por fim, as equações reduzidas na variável y.

Passo 2

O vetor direcional da reta é dado por
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\,-2-2,\,1-(-4)) = (3,-4,5).

Passo 3

Com o ponto A como ponto de passagem e \overrightarrow{AB} como direção, a equação vetorial é
\mathbf{r} = (1,2,-4) + t\,(3,-4,5).
Daí as equações paramétricas vêm direto:
x = 1 + 3t,\quad y = 2 - 4t,\quad z = -4 + 5t.

Passo 4

Para as equações simétricas igualamos cada expressão ao parâmetro t:
\frac{x - 1}{3} \;=\;\frac{y - 2}{-4}\;=\;\frac{z + 4}{5}.

Passo 5

Na forma reduzida em função de y, resolvemos y = 2 - 4t para t e substituímos em x e z:
t = \frac{2 - y}{4},
x = 1 + 3\;\frac{2 - y}{4} = \frac{10 - 3y}{4},
z = -4 + 5\;\frac{2 - y}{4} = -\frac{6 + 5y}{4}.

Resposta

a) Equação vetorial da reta:
\mathbf{r} = (1,2,-4) + t\,(3,-4,5).
b) Equações paramétricas:
x = 1 + 3t,\quad y = 2 - 4t,\quad z = -4 + 5t.
c) Equações simétricas:
\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z + 4}{5}.
d) Equações reduzidas na variável y:
x = \frac{10 - 3y}{4},\quad z = -\frac{6 + 5y}{4}.

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