Questão 2: Se \vec{u}=(3,-1,-2), \vec{v}=(2,4,-1), \vec{w}=(-1,0,1). Determine:
a) \vec{u} \cdot \vec{v}
b) \vec{w} \cdot(\vec{u} \times \vec{v})

Passo 1

O enunciado dá três vetores
\vec{u}=(3,-1,-2), \vec{v}=(2,4,-1) e \vec{w}=(-1,0,1)
e pede (a) o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} e (b) o produto misto \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}).
Para (a) usamos a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3 e para (b) primeiro calculamos o vetor \vec{u}\times\vec{v} pela regra do determinante e depois o escalar com \vec{w}.

Passo 2

Aplicando a definição
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 3\cdot 2 + (-1)\cdot 4 + (-2)\cdot(-1)
= 6 -4 +2 = 4.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} usando a forma de determinante
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & -1 & -2\\\\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \bigl((-1)(-1)-(-2)\cdot4,\;(-2)\cdot2-3(-1),\;3\cdot4-(-1)\cdot2\bigr).
Isso dá
\vec{u}\times\vec{v} = (1+8,\;-4+3,\;12+2) = (9,-1,14).

Passo 4

Agora o produto misto \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) é
\vec{w}\cdot(9,-1,14) = (-1)\cdot9 + 0\cdot(-1) + 1\cdot14 = -9 + 0 +14 = 5.

Resposta

a) 4
b) 5

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