Questão 2. Determinar a funçāo
:
e
.
Passo 1
A questão pede para achar a função f(x) tal que
e que satisfaz f(0)= -2. O conteúdo principal é transformar essa integral em uma equação diferencial para f, resolvê-la e depois usar a condição inicial.
Passo 2
Como temos uma primitiva igual a x² + C, podemos derivar ambos os lados em relação a x. A derivada de
é simplesmente o integrando, e a derivada de x² + C é 2x. Logo obtemos
Passo 3
Isolamos f’(x):
Isso nos leva a uma equação de separação direta para f.
Passo 4
Para integrar f’(x) = 2/(x^{2}-4), usamos frações parciais. Sabemos que
$$\frac{2}{x^{2}-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}.
$$Resolvendo A + B = 0 e 2A - 2B = 2 dá A=1/2 e B=-1/2. Então
$$f’(x) = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}\Bigr).
$$Integrando,
$$f(x) = \frac{1}{2}\ln|x-2| - \frac{1}{2}\ln|x+2| + C_{1} = \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{x-2}{x+2}\Bigr| + C_{1}.
$$
Passo 5
Aplicamos a condição inicial f(0)= -2:
$$f(0) = \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{-2}{2}\Bigr| + C_{1} = \frac{1}{2}\ln(1) + C_{1} = C_{1} = -2.
$$Logo C_{1} = -2.
Passo 6
Substituindo C_{1} na expressão de f(x), obtemos a solução final. Mantendo a forma, fica muito claro como f depende de x.
Resposta
f(x) = \tfrac{1}{2}\ln\bigl|\tfrac{x-2}{x+2}\bigr| ; -2