Questão 2. Determinar a funçāo f(x) :
integral(x^3-4 x) f^prime(x) d x=x^2+C e f(0)=-2.

Passo 1

A questão pede para achar a função f(x) tal que
integrall(x^3-4xr)f'(x),dx = x^2 + C
e que satisfaz f(0)= -2. O conteúdo principal é transformar essa integral em uma equação diferencial para f, resolvê-la e depois usar a condição inicial.

Passo 2

Como temos uma primitiva igual a x² + C, podemos derivar ambos os lados em relação a x. A derivada de integral (x^3-4x)f'(x),dx é simplesmente o integrando, e a derivada de x² + C é 2x. Logo obtemos
(x^3-4x)f'(x) = 2x

Passo 3

Isolamos f’(x):
f'(x) = 2xx^3-4x = 2xx(x^2-4) = 2x^2-4
Isso nos leva a uma equação de separação direta para f.

Passo 4

Para integrar f’(x) = 2/(x^{2}-4), usamos frações parciais. Sabemos que
$$\frac{2}{x^{2}-4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}.
$$Resolvendo A + B = 0 e 2A - 2B = 2 dá A=1/2 e B=-1/2. Então
$$f’(x) = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}\Bigr).
$$Integrando,
$$f(x) = \frac{1}{2}\ln|x-2| - \frac{1}{2}\ln|x+2| + C_{1} = \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{x-2}{x+2}\Bigr| + C_{1}.
$$

Passo 5

Aplicamos a condição inicial f(0)= -2:
$$f(0) = \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{-2}{2}\Bigr| + C_{1} = \frac{1}{2}\ln(1) + C_{1} = C_{1} = -2.
$$Logo C_{1} = -2.

Passo 6

Substituindo C_{1} na expressão de f(x), obtemos a solução final. Mantendo a forma, fica muito claro como f depende de x.

Resposta

f(x) = \tfrac{1}{2}\ln\bigl|\tfrac{x-2}{x+2}\bigr| ; -2

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