Questão 9 Determinar, pelo método da secante, uma raiz de cada uma das equações:
\ln x-\cos x=0,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz da equação
\ln x - \cos x = 0
usando o método da secante. Esse método é um algoritmo iterativo para resolver f(x)=0 sem usar derivadas, apenas avaliando f em dois pontos iniciais e aproximando a reta secante que cruza o eixo x.

Passo 2

Definimos
f(x)=\ln x - \cos x,
cujo domínio é x>0. A fórmula da secante, dado dois pontos x_{n-1} e x_n, gera
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.

Passo 3

Como f(1)=\ln1-\cos1=0-0{,}5403\approx -0{,}5403<0 e
f(2)=\ln2-\cos2\approx 0{,}6931-(-0{,}4161)=1{,}1092>0,
há mudança de sinal em [1,2]. Então escolhemos
x_0=1,\quad x_1=2
como chutes iniciais.

Passo 4

Primeira iteração n=1 produz x_2:
x_2 = 2 - f(2)\,\frac{2-1}{\,f(2)-f(1)\,} = 2 - 1{,}1092\cdot\frac{1}{1{,}1092-(-0{,}5403)} \approx1{,}3274.
Calculamos
f(1{,}3274)=\ln(1{,}3274)-\cos(1{,}3274)\approx0{,}0421.

Passo 5

Segunda iteração n=2 produz x_3:
x_3 = 1{,}3274 - f(1{,}3274)\,\frac{1{,}3274-2}{\,f(1{,}3274)-f(2)\,} \approx1{,}3009,
com
f(1{,}3009)\approx-0{,}0033.

Passo 6

Repetimos até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-5}. Após mais duas iterações obtemos
x_4\approx1{,}3028,\quad f(x_4)\approx7{,}7\times10^{-4},
x_5\approx1{,}3025,\quad f(x_5)\approx1{,}3\times10^{-4},
x_6\approx1{,}30239,\quad f(x_6)\approx\mathcal{O}(10^{-5}).

Resposta

Uma raiz aproximada é
x\approx1{,}30239.

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