Questão 9 Determinar, pelo método da secante, uma raiz de cada uma das equações:
e^{-x}-\ln x=0,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz da equação
f(x)=e^{-x}-\ln x=0
usando o método da secante. Esse método itera a partir de duas aproximações iniciais x_{0} e x_{1}, aplicando a fórmula
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n}) \frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}
até que |f(x_{n+1})| fique abaixo de uma tolerância escolhida (aqui usaremos \mathrm{tol}=10^{-5}).

Passo 2

Precisamos de duas aproximações iniciais. Observando
f(1)=e^{-1}-\ln1=0,3679-0=0,3679>0, \quad f(2)=e^{-2}-\ln2=0,1353-0,6931=-0,5578<0,
há mudança de sinal em [1,2]. Então escolhemos
x_{0}=1,\quad x_{1}=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula da secante para obter x_{2}:
x_{2} = 2 - f(2)\,\frac{2-1}{f(2)-f(1)} = 2 - (-0,5578)\,\frac{1}{-0,5578-0,3679} \approx1,3974.
Calculamos
f(1,3974)=e^{-1,3974}-\ln(1,3974) \approx0,2474-0,3340=-0,0866.

Passo 4

Com x_{1}=2 e x_{2}=1,3974, obtemos x_{3}:
x_{3} = 1{,}3974 - (-0,0866)\,\frac{1{,}3974-2}{-0,0866-(-0,5578)} \approx1{,}2866.
E
f(1,2866)=e^{-1,2866}-\ln(1,2866) \approx0,2755-0,2527=0,0228.

Passo 5

Agora com x_{2}=1,3974 e x_{3}=1,2866, calculamos x_{4}:
x_{4} = 1{,}2866 - 0,0228\,\frac{1{,}2866-1{,}3974}{0,0228-(-0,0866)} \approx1{,}3097.
E
f(1,3097)=e^{-1,3097}-\ln(1,3097) \approx0,2702-0,2690=0,00120.
Como |f(1,3097)|=0,00120>\mathrm{tol}, seguimos iterando.

Passo 6

Com x_{3}=1,2866 e x_{4}=1,3097, obtemos x_{5}:
x_{5} = 1{,}3097 - 0,00120\,\frac{1{,}3097-1{,}2866}{0,00120-0,0228} \approx1{,}30968.
E
f(1,30968)\approx0,000011<10^{-5},
logo a tolerância foi alcançada.

Resposta

A raiz aproximada obtida pelo método da secante é
x\approx1,30968.

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