Questão 5
Seja
munido do produto interno usual
. Sejam
e
.
a. Calcular
.
b. Achar
.
c.
e
são complementares em
?
a. Calcular
b. Achar
c.
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar em
com o produto interno usual e define dois subespaços:
F é o plano dado por e G é o plano dado por
. Precisamos achar:
(a) o complemento ortogonal ,
(b) a interseção ,
© verificar se e G são complementares em
.
Vamos usar a definição de complemento ortogonal, a descrição por equações lineares e o critério de soma direta de subespaços.
F é o plano dado por
(a) o complemento ortogonal
(b) a interseção
© verificar se
Vamos usar a definição de complemento ortogonal, a descrição por equações lineares e o critério de soma direta de subespaços.
Passo 2
Para encontrar
, lembramos que para um subespaço definido por uma equação linear
, o vetor
é normal ao plano e gera o complemento ortogonal. Aqui
é definido por:
então um vetor normal a
é
Logo,
Passo 3
Agora queremos
. Um vetor genérico em
é
. Para ele pertencer a G, deve satisfazer a equação de G:
Isso mostra que o único vetor comum é o vetor nulo, ou seja
Passo 4
Dois subespaços
e
são complementares em
se
e
. Aqui
e
, e já vimos que
. Como
temos que
isto é,
e G são complementares.
Passo 5
Resposta
a)
.
b) .
c) Sim. Como e a interseção é trivial, temos
, logo são complementares.
b)
c) Sim. Como