Questão 5

Seja R^3 munido do produto interno usual F^perp. Sejam F^perp cap G e F^perp.
a. Calcular G.
b. Achar R^3.
c. e são complementares em ?

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar em R^3 com o produto interno usual e define dois subespaços:
F é o plano dado por x-3y=0 e G é o plano dado por y-z=0. Precisamos achar:
(a) o complemento ortogonal F^perp,
(b) a interseção F^perpcap G,
© verificar se F^perp e G são complementares em R^3.
Vamos usar a definição de complemento ortogonal, a descrição por equações lineares e o critério de soma direta de subespaços.

Passo 2

Para encontrar F^perp, lembramos que para um subespaço definido por uma equação linear a x + b y + c z = 0, o vetor (a,b,c) é normal ao plano e gera o complemento ortogonal. Aqui F é definido por:
x - 3y = 0,
então um vetor normal a F é
n = (1,-3,0)
Logo,
F^perp = span(1,-3,0)

Passo 3

Agora queremos F^perpcap G. Um vetor genérico em F^perp é t(1,-3,0). Para ele pertencer a G, deve satisfazer a equação de G:
y - z = 0 ; Longrightarrow; -3t - 0 = 0 ; Longrightarrow; t = 0
Isso mostra que o único vetor comum é o vetor nulo, ou seja
F^perp cap G = (0,0,0)

Passo 4

Dois subespaços U e W são complementares em R^3 se U cap W = 0 e dim U + dim W = 3. Aqui dim F^perp = 1 e dim G = 2, e já vimos que F^perp cap G = 0. Como
1 + 2 = 3,
temos que
R^3 = F^perp oplus G,
isto é, F^perp e G são complementares.

Passo 5

Resposta

a) F^perp = span(1,-3,0).
b) F^perp cap G = (0,0,0).
c) Sim. Como dim F^perp + dim G = 1 + 2 = 3 e a interseção é trivial, temos R^3 = F^perp oplus G, logo são complementares.

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