Seja ( K,+, cdot) um corpo. Mostre que:
Se x, x1 e x2 são elementos de K com x neq 0 e x cdot x1=x cdot x2, então
x1=x2

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de cancelamento no corpo K: dados x,x1,x2inK com xneq0 e xcdot x1 = xcdot x2, mostrar que x1 = x2. Vamos usar a definição de corpo, em particular o fato de que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo e que a multiplicação é associativa.

Passo 2

Como xneq0, existe em K o inverso multiplicativo de x, denotado por x^-1, tal que x^-1cdot x = 1. Multiplicamos a igualdade xcdot x1 = xcdot x2 à esquerda por x^-1:
x^-1cdot (xcdot x1) = x^-1cdot (xcdot x2)

Passo 3

Pela associatividade da multiplicação em K, podemos reescrever cada lado como
(x^-1cdot x)cdot x1 = (x^-1cdot x)cdot x2
Como x^-1cdot x = 1, isso vira
1cdot x1 = 1cdot x2

Passo 4

Usando a propriedade de elemento neutro na multiplicação ( 1cdot y = y para qualquer y), concluímos que
x1 = x2

Resposta

x1 = x2

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