Questão:
(a) Utilize cortes para fazer o esboço da superfície quádrica
com equação
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
(c) Determine a equação vetorial da reta normal ao plano encontrado no item anterior.
(a) Utilize cortes para fazer o esboço da superfície quádrica
(c) Determine a equação vetorial da reta normal ao plano encontrado no item anterior.
Passo 1
Beleza, temos um elipsoide definido pela equação
A matéria aqui envolve superfícies quádricas (elipsoides), plano tangente via derivadas parciais (gradiente) e reta normal. Vamos resolver (a) esboçando com cortes, (b) calculando o plano tangente usando
e (c) obtendo a reta normal com direção do gradiente no ponto.
Passo 2
Para o esboço da superfície no item (a), fazemos cortes por planos paralelos aos planos coordenados. Por exemplo, no plano
temos:
que é uma elipse com semieixos 2 (eixo y) e 3 (eixo z). De modo semelhante, no plano
obtém-se:
elipse com semieixos 1 (x) e 3 (z), e no plano
temos:
elipse com semieixos 1 (x) e 2 (y). Concluímos que é um elipsoide centrado na origem, com semieixos de comprimentos 1 (x), 2 (y) e 3 (z).
Passo 3
Para encontrar o plano tangente do item (b), definimos a função implícita
O gradiente
é normal ao plano tangente, e a equação do plano usa
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais temos:
Logo,
Passo 5
Avaliamo
no ponto
. Substituindo:
Multiplicando por
para ter direção inteira, obtemos o vetor normal
.
Passo 6
A equação do plano tangente é
Expandindo e simplificando, chega-se a
Passo 7
Para o item (c), a reta normal passa por
e tem direção
. A equação vetorial é
Resposta
(a) Elipsoide centrado na origem com semieixos de comprimentos 1 (x), 2 (y) e 3 (z). (b) Plano tangente:
. (c) Reta normal:
.