4^a Questão:
(a) Utilize cortes para fazer o esboço da superfície quádrica S com equação
x^2+y^24+z^29=1
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície S no ponto (1raiz3, 2raiz3, 3raiz3).
(c) Determine a equação vetorial da reta normal ao plano encontrado no item anterior.

Passo 1

Beleza, temos um elipsoide definido pela equação
x^2+y^24+z^29=1
A matéria aqui envolve superfícies quádricas (elipsoides), plano tangente via derivadas parciais (gradiente) e reta normal. Vamos resolver (a) esboçando com cortes, (b) calculando o plano tangente usando nabla F(P)cdot(X-P)=0 e (c) obtendo a reta normal com direção do gradiente no ponto.

Passo 2

Para o esboço da superfície no item (a), fazemos cortes por planos paralelos aos planos coordenados. Por exemplo, no plano x=0 temos:
y^24+z^29=1
que é uma elipse com semieixos 2 (eixo y) e 3 (eixo z). De modo semelhante, no plano y=0 obtém-se:
x^2+z^29=1
elipse com semieixos 1 (x) e 3 (z), e no plano z=0 temos:
x^2+y^24=1
elipse com semieixos 1 (x) e 2 (y). Concluímos que é um elipsoide centrado na origem, com semieixos de comprimentos 1 (x), 2 (y) e 3 (z).

Passo 3

Para encontrar o plano tangente do item (b), definimos a função implícita
F(x,y,z)=x^2+y^24+z^29-1
O gradiente nabla F=(Fx,Fy,Fz) é normal ao plano tangente, e a equação do plano usa nabla F(P)cdot(X-P)=0.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais temos:
Fx=2x, Fy=y2, Fz=2z9
Logo,
nabla F(x,y,z)=l(2x,tfracy2,tfrac2z9r)

Passo 5

Avaliamo nabla F no ponto P=(tfrac1raiz3,tfrac2raiz3,tfrac3raiz3). Substituindo:
nabla F(P)=l(2cdottfrac1raiz3,,tfrac2/raiz32,,tfrac2,(3/raiz3)9r) =l(tfrac2raiz3,,tfrac1raiz3,,tfrac23raiz3r)
Multiplicando por 3raiz3 para ter direção inteira, obtemos o vetor normal (6,3,2)).

Passo 6

A equação do plano tangente é
6l(x-tfrac1raiz3r)+3l(y-tfrac2raiz3r)+2l(z-tfrac3raiz3r)=0
Expandindo e simplificando, chega-se a
6x+3y+2z=6raiz3

Passo 7

Para o item (c), a reta normal passa por P e tem direção (6,3,2). A equação vetorial é
vec r=l(tfrac1raiz3,tfrac2raiz3,raiz3r)+t,(6,3,2)

Resposta

(a) Elipsoide centrado na origem com semieixos de comprimentos 1 (x), 2 (y) e 3 (z). (b) Plano tangente: 6x+3y+2z=6raiz3. (c) Reta normal: vec r=(tfrac1raiz3,tfrac2raiz3,raiz3)+t,(6,3,2).

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