Questão 0.2. Determine o ângulo entre u=-2 j+i-k e v=(-1 ; 2 ; 0) (V A L O R=1.0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores, que é um tópico de Álgebra Vetorial. Para isso, vamos precisar das componentes dos vetores, do produto escalar entre eles e das magnitudes (ou módulos) de cada vetor. A fórmula que usamos para achar o ângulo é baseada no cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor. O vetor u está escrito como -2j + i - k, que na forma de coordenadas fica:
u = (1, -2, -1)
Já o vetor v está dado como (-1 ; 2 ; 0), o que significa:
v = (-1, 2, 0)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar (ou ponto) entre os vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Substituindo as componentes:
u cdot v = (1)(-1) + (-2)(2) + (-1)(0) = -1 - 4 + 0 = -5

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as magnitudes (ou módulos) de cada vetor. A magnitude de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Para u:
||u|| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Para v:
||v|| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v||u||,||v||
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = -5raiz6 times raiz5 = -5raiz30 = -5raiz30 times raiz30raiz30 = -5raiz3030 = -raiz306

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, precisamos calcular o arco cosseno desse valor:
theta = arccos(-raiz306)
Usando uma calculadora científica, encontramos:
theta approx 131,81^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 131,81 graus.

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