Questão 0.4. Dê equações paramétricas do plano que passa pelo ponto e possui representante dos vetores e . Encontre um vetor normal ao plano . (VALOR=2.5)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é definido pelos vetores e . Além disso, queremos achar um vetor normal a esse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a representação paramétrica de planos e o cálculo de vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as equações paramétricas de um plano. Elas são uma forma de descrever todos os pontos que estão no plano usando um ponto fixo e dois vetores diretores que estão no plano. A fórmula geral é:
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa, u e v são os vetores diretores, e s e t são parâmetros que variam livremente.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos o ponto P = (2, 0, -1) , então x0 = 2 , y0 = 0 , e z0 = -1 . Os vetores diretores são u = (1, 2, -1) e v = (1, 0, 0) . Substituindo na fórmula, temos:
x = 2 + s cdot 1 + t cdot 1 y = 0 + s cdot 2 + t cdot 0 z = -1 + s cdot (-1) + t cdot 0
Simplificando, fica:
x = 2 + s + t y = 2s z = -1 - s
Passo 4
Agora, para encontrar um vetor normal ao plano, usamos que um vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Uma maneira de achar esse vetor é calculando o produto vetorial dos vetores diretores u e v . O produto vetorial u times v nos dá um vetor que é perpendicular a ambos.