Questão 0.4. Dê equações paramétricas do plano pi que passa pelo ponto P=(2,0,-1) e possui representante dos vetores u=(1,2,-1) e v=(1,0,0). Encontre um vetor normal ao plano pi. (VALOR=2.5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto P = (2, 0, -1) e é definido pelos vetores u = (1, 2, -1) e v = (1, 0, 0) . Além disso, queremos achar um vetor normal a esse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a representação paramétrica de planos e o cálculo de vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as equações paramétricas de um plano. Elas são uma forma de descrever todos os pontos que estão no plano usando um ponto fixo e dois vetores diretores que estão no plano. A fórmula geral é:
x = x0 + s cdot ux + t cdot vx y = y0 + s cdot uy + t cdot vy z = z0 + s cdot uz + t cdot vz
Onde (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa, u e v são os vetores diretores, e s e t são parâmetros que variam livremente.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos o ponto P = (2, 0, -1) , então x0 = 2 , y0 = 0 , e z0 = -1 . Os vetores diretores são u = (1, 2, -1) e v = (1, 0, 0) . Substituindo na fórmula, temos:
x = 2 + s cdot 1 + t cdot 1 y = 0 + s cdot 2 + t cdot 0 z = -1 + s cdot (-1) + t cdot 0
Simplificando, fica:
x = 2 + s + t y = 2s z = -1 - s

Passo 4

Agora, para encontrar um vetor normal ao plano, usamos que um vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Uma maneira de achar esse vetor é calculando o produto vetorial dos vetores diretores u e v . O produto vetorial u times v nos dá um vetor que é perpendicular a ambos.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial:
u times v = i & j & k 1 & 2 & -1 1 & 0 & 0
Calculando o determinante:
i(2 cdot 0 - (-1) cdot 0) - j(1 cdot 0 - (-1) cdot 1) + k(1 cdot 0 - 2 cdot 1)
Simplificando:
i(0) - j(0 + 1) + k(0 - 2) = -j - 2k = (0, -1, -2)

Resposta

As equações paramétricas do plano [\pi) são:
E um vetor normal ao plano .

Exercícios relacionados