Questão 2. Determine as assíntotas verticais de:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas verticais da função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}.
Para isso, vamos estudar o domínio de f, identificar onde o denominador se anula e verificar que, nesses pontos, a função tende a \pm\infty.

Passo 2

O denominador é x^{2}-4. Para encontrar onde ele se anula, resolvemos
x^{2}-4=0
x^{2}=4
x=\pm 2.
Logo, os candidatos a assíntotas verticais são x=2 e x=-2.

Passo 3

Para que x=a seja assíntota vertical, é necessário que \lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty. Primeiro, note que em x=\pm 2 o numerador vale 2^{2}+1=5\neq0, então não há cancelamento de fatores.
Vamos checar o sinal da função perto de x=2:
- Para x\to 2^+, o numerador é positivo ( +5) e o denominador x^{2}-4 é pequeno e positivo, logo
\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty.
- Para x\to 2^-, o numerador continua positivo e o denominador é pequeno e negativo, logo
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty.
Analogamente, perto de x=-2:
- Para x\to -2^+, o denominador é pequeno e negativo, logo
\lim_{x\to(-2)^+}f(x)=-\infty.
- Para x\to -2^-, o denominador é pequeno e positivo, logo
\lim_{x\to(-2)^-}f(x)=+\infty.
Como em ambos os pontos os limites laterais divergem para \pm\infty, confirmamos as assíntotas verticais.

Resposta

As assíntotas verticais são
x=2 \quad\text{e}\quad x=-2.

Exercícios relacionados