Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
(a_{n}=n
\cos (n)
e{-n{2}})

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n = n \cos(n) e^{-n^{2}}
converge ou diverge. Se converge, encontrar o limite e justificar cada passo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A sequência é indexada por n inteiro positivo.
  • A expressão envolve os fatores n, \cos(n) e e^{-n^{2}}.
  • Sabemos (fato básico) que \cos(n) é um número real para todo n e satisfaz -1 \le \cos(n) \le 1.
  • Sabemos também que e^{-n^{2}}>0 para todo n.

Passo 2

Vou controlar a sequência pelo valor absoluto para aproveitar a desigualdade -1\le\cos(n)\le1.
Pelo fato de valor absoluto de produto ser produto dos valores absolutos, vale
|a_n| = |n \cos(n) e^{-n^{2}}| = n\,|\cos(n)|\,e^{-n^{2}}.
Usando |\cos(n)| \le 1 obtemos a desigualdade-chave
|a_n| \le n e^{-n^{2}}.
Explicando devagar: isso nos diz que a magnitude de a_n é no máximo n e^{-n^{2}}. Se conseguirmos mostrar que o lado direito tende a 0, então |a_n|\to0 e, portanto, a_n\to0.

Passo 3

Mostro que
\lim_{n\to\infty} n e^{-n^{2}} = 0.
É conveniente tratar a expressão como uma função contínua em variável real e aplicar l’Hôpital. Considere a função
f(x)=\frac{x}{e^{x^{2}}},\qquad x>0,
e o limite x\to\infty. Temos uma forma \tfrac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a x,
\frac{d}{dx} (x)=1,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=2x e^{x^{2}}.
Pela regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x^{2}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x e^{x^{2}}}.
O denominador 2x e^{x^{2}} tende a +\infty quando x\to\infty, logo a fracção tende a 0. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^{x^{2}}}=0.
Como a sequência n e^{-n^{2}} é apenas a amostragem dessa função nos inteiros positivos, conclui-se
\lim_{n\to\infty} n e^{-n^{2}} = 0.
Observação didática rápida: essa demonstração mostra o princípio geral de que exponenciais do tipo e^{n^{2}} crescem muito mais rápido que qualquer polinômio em n; por isso produtos como n^{k}e^{-n^{2}} tendem a zero para todo k.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do aperto / squeeze theorem):
Temos para todo n
-|n| e^{-n^{2}} \le n\cos(n)e^{-n^{2}} \le |n| e^{-n^{2}}.
Mas para n\ge1, |n|=n, então
- n e^{-n^{2}} \le a_n \le n e^{-n^{2}}.
Como demonstrado no Passo 3, \lim_{n\to\infty} n e^{-n^{2}} = 0. Portanto os limites das duas sequências guia (superior e inferior) são ambos 0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicando de forma amigável: apesar de \cos(n) oscilar entre -1 e 1, o fator e^{-n^{2}} vai a zero tão rápido que “apaga” a oscilação e manda toda a sequência para zero.

Passo 5

Conclusão e reforço didático:
  • A sequência converge.
  • O limite é 0.
  • Técnica usada: bound pelo valor absoluto usando |\cos(n)|\le1 e aplicação do Teorema do Confronto, apoiada na demonstração de que n e^{-n^{2}}\to0 (pela regra de l’Hôpital sobre a versão contínua).
Um exemplo relacionado: para qualquer inteiro k\ge0 vale \lim_{n\to\infty} n^{k} e^{-n^{2}}=0. Isso é útil na prova de que muitas sequências com exponencial decrescente vencem fatores polinomiais.

Resposta

\,0

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