Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
(a_{n}=n
\cos (n)
e{-n{2}})
(a_{n}=n
e{-n{2}})
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se converge, encontrar o limite e justificar cada passo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A sequência é indexada por
inteiro positivo. - A expressão envolve os fatores
, e . - Sabemos (fato básico) que
é um número real para todo e satisfaz . - Sabemos também que
para todo .
Passo 2
Vou controlar a sequência pelo valor absoluto para aproveitar a desigualdade
.
Pelo fato de valor absoluto de produto ser produto dos valores absolutos, vale
Usando
obtemos a desigualdade-chave
Explicando devagar: isso nos diz que a magnitude de
é no máximo
. Se conseguirmos mostrar que o lado direito tende a
, então
e, portanto,
.
Passo 3
Mostro que
É conveniente tratar a expressão como uma função contínua em variável real e aplicar l’Hôpital. Considere a função
e o limite
. Temos uma forma
, então podemos aplicar a regra de l’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
,
Pela regra de l’Hôpital,
O denominador
tende a
quando
, logo a fracção tende a
. Assim
Como a sequência
é apenas a amostragem dessa função nos inteiros positivos, conclui-se
Observação didática rápida: essa demonstração mostra o princípio geral de que exponenciais do tipo
crescem muito mais rápido que qualquer polinômio em
; por isso produtos como
tendem a zero para todo
.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do aperto / squeeze theorem):
Temos para todo
Mas para
,
, então
Como demonstrado no Passo 3,
. Portanto os limites das duas sequências guia (superior e inferior) são ambos
. Pelo Teorema do Confronto segue que
Explicando de forma amigável: apesar de
oscilar entre
e
, o fator
vai a zero tão rápido que “apaga” a oscilação e manda toda a sequência para zero.
Passo 5
Conclusão e reforço didático:
- A sequência converge.
- O limite é
. - Técnica usada: bound pelo valor absoluto usando
e aplicação do Teorema do Confronto, apoiada na demonstração de que (pela regra de l’Hôpital sobre a versão contínua).
Um exemplo relacionado: para qualquer inteiro
vale
. Isso é útil na prova de que muitas sequências com exponencial decrescente vencem fatores polinomiais.