Verifique se o vetor v in V pertence ao núcleo da transformação linear T: V W, em cada caso.
V=R^3 ; W=R^2 ; T(x, y)=(x+y-z, 3 y+z) ; v=(4,-1,3)

Passo 1

O enunciado dá os espaços vetoriais V = R^3 e W = R^2, bem como a transformação linear
T(x,y,z) = (x + y - z,;3y + z)
Queremos verificar se o vetor v = (4,-1,3) pertence ao núcleo de T, ou seja, se T(v) = (0,0).

Passo 2

Lembremos que o núcleo de T é definido por
ker(T) = ,u in V mid T(u) = (0,0)
Portanto, para saber se vin ker(T), basta calcular T(v) e checar se o resultado é o vetor nulo (0,0).

Passo 3

Vamos calcular
T(v) = T(4,-1,3) = l(4 + (-1) - 3,;3cdot(-1) + 3r)
Agora fazemos as contas em cada componente:
- Primeira componente: 4 + (-1) - 3 = 0.
- Segunda componente: 3cdot(-1) + 3 = -3 + 3 = 0.
Logo
T(v) = (0,0)

Passo 4

Como T(v) = (0,0), concluímos que v está no núcleo de T, ou seja, v in ker(T).

Resposta

vin ker(T).

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