Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
b)
b)
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge quando
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A fórmula explícita de
para todo (assumimos ). - A pergunta é única: verificar a convergência e, em caso afirmativo, achar o limite.
Passo 2
Intuição e estratégia (sem ainda executar): quando
cresce muito, termos polinomiais de mais alto grau costumam dominar a expressão. Aqui o numerador tem termo de ordem
(
) e o denominador também tem termo de ordem
(
). Portanto esperamos que a sequência tenda para a razão dos coeficientes dos termos de maior grau, ou seja
. Agora vamos mostrar isso com contas claras.
Passo 3
Técnica padrão: dividir numerador e denominador pelo maior potência de
que aparece (aqui
). Isso deixa explícito o comportamento quando
. Faço a divisão termo a termo:
Passo 4
Agora tomo o limite de cada parte conhecida quando
. Lembrando propriedades básicas de limites: se
e
com
, então
. Aqui:
Substituindo na expressão de
obtemos
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 5
Para fixar o entendimento: outra forma é escrever a diferença
e mostrar que ela tende a zero (prova do tipo
-
, mais “formal” e útil em provas). Calculemos:
Tomando valor absoluto,
Podemos estimar essa fração por algo simples que vá a zero. Para
vale
, então
Dado
, escolha
. Para todo
tem
. Isso demonstra formalmente que
.
Passo 6
Resumo e interpretação final (didático): como numerador e denominador são polinômios de mesmo grau (
), o comportamento para
é governado pelas raízes principais — a razão dos coeficientes dos termos
. Isso dá limite
. A prova via divisão por
ou via estimativa
-
confirma que a sequência converge para
. Bom trabalho — essa é uma técnica que aparece muito em prova: compare graus ou divida pela maior potência de
.