Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
b) a_{n}=\frac{3+5 n^{2}}{n+n^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
a_{n}=\frac{3+5 n^{2}}{n+n^{2}}
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge quando n\to\infty.
Informações dadas:
  • A fórmula explícita de a_{n} para todo n\in\mathbb{N} (assumimos n\ge1).
  • A pergunta é única: verificar a convergência e, em caso afirmativo, achar o limite.

Passo 2

Intuição e estratégia (sem ainda executar): quando n cresce muito, termos polinomiais de mais alto grau costumam dominar a expressão. Aqui o numerador tem termo de ordem n^{2} ( 5n^{2}) e o denominador também tem termo de ordem n^{2} ( n^{2}). Portanto esperamos que a sequência tenda para a razão dos coeficientes dos termos de maior grau, ou seja 5/1=5. Agora vamos mostrar isso com contas claras.

Passo 3

Técnica padrão: dividir numerador e denominador pelo maior potência de n que aparece (aqui n^{2}). Isso deixa explícito o comportamento quando n\to\infty. Faço a divisão termo a termo:
a_{n}=\frac{3+5 n^{2}}{n+n^{2}} =\frac{\dfrac{3}{n^{2}}+5}{\dfrac{n}{n^{2}}+1} =\frac{\dfrac{3}{n^{2}}+5}{\dfrac{1}{n}+1}.

Passo 4

Agora tomo o limite de cada parte conhecida quando n\to\infty. Lembrando propriedades básicas de limites: se \lim_{n\to\infty} x_n = X e \lim_{n\to\infty} y_n = Y com Y\neq0, então \lim (x_n/y_n)=X/Y. Aqui:
\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n^{2}}=0, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Substituindo na expressão de a_n obtemos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{0+5}{0+1}=5.
Portanto a sequência converge e seu limite é 5.

Passo 5

Para fixar o entendimento: outra forma é escrever a diferença a_{n}-5 e mostrar que ela tende a zero (prova do tipo \varepsilon- N, mais “formal” e útil em provas). Calculemos:
a_{n}-5=\frac{3+5n^{2}}{n+n^{2}}-5 =\frac{3+5n^{2}-5n-5n^{2}}{n+n^{2}} =\frac{3-5n}{n(1+n)}.
Tomando valor absoluto,
\left|a_{n}-5\right|=\frac{|3-5n|}{n(1+n)}=\frac{5n-3}{n(1+n)}\quad(\text{para }n\ge1).
Podemos estimar essa fração por algo simples que vá a zero. Para n\ge1 vale n(1+n)\ge n^{2}, então
\left|a_{n}-5\right|\le\frac{5n+3}{n^{2}}=\frac{5}{n}+\frac{3}{n^{2}}\le\frac{8}{n}.
Dado \varepsilon>0, escolha N>\dfrac{8}{\varepsilon}. Para todo n\ge N tem \left|a_{n}-5\right|\le 8/n < \varepsilon. Isso demonstra formalmente que \lim_{n\to\infty} a_n =5.

Passo 6

Resumo e interpretação final (didático): como numerador e denominador são polinômios de mesmo grau ( 2), o comportamento para n\to\infty é governado pelas raízes principais — a razão dos coeficientes dos termos n^{2}. Isso dá limite 5. A prova via divisão por n^{2} ou via estimativa \varepsilon- N confirma que a sequência converge para 5. Bom trabalho — essa é uma técnica que aparece muito em prova: compare graus ou divida pela maior potência de n.

Resposta

\lim_{n\to\infty} a_{n}=5

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