Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
e) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}
e pede apenas para determinar se ela converge ou diverge. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\log n}{n}.
  • Note que \log 1=0, então o primeiro termo é zero, e para n\ge2 os termos são positivos (assume-se aqui \log como o logaritmo natural).
  • A tarefa é dizer se a soma infinita dos a_n converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).

Passo 2

Verificação rápida do comportamento do termo: é preciso lembrar que um teste preliminar é verificar o limite dos termos.
Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{n}.
Para isso, pode-se considerar a função contínua f(x)=\dfrac{\log x}{x} e usar o L’Hôpital (ou só conhecimento de que x cresce muito mais rápido que \log x). Aplicando L’Hôpital como variável real:
\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0. Aviso amigo: o fato de os termos irem para zero é necessário para convergência, mas NÃO é suficiente — portanto precisamos de um teste de séries.

Passo 3

Teste de comparação simples (método direto e elementar). Observe que, para n\ge3, vale
\log n \ge \log 3 > 1,
então, para todo n\ge3,
\frac{\log n}{n} \ge \frac{1}{n}.
A série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge. Se a partir de algum N em diante os termos a_n são maiores ou iguais aos termos de uma série conhecida divergente, então a série original também diverge (teste da comparação direta). Assim, como \dfrac{\log n}{n}\ge\dfrac{1}{n} para n\ge3, conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}
diverge.

Passo 4

(Explicação alternativa — prova pelo teste da integral, para reforçar a intuição.) Considere f(x)=\dfrac{\log x}{x} para x\ge e. Essa função é positiva e monotonicamente decrescente para x\ge e (pois f'(x)=\dfrac{1-\log x}{x^2}<0 quando x>e). Pelo teste da integral, a série \sum_{n}f(n) e a integral \int_{e}^{\infty}\dfrac{\log x}{x}\,dx têm o mesmo tipo de convergência. Calcule a primitiva:
\int \frac{\log x}{x}\,dx=\frac{(\log x)^2}{2}+C.
Logo
\int_{e}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\frac{(\log t)^2}{2}-\frac{(\log e)^2}{2} =\infty.
Como a integral diverge, a série também diverge. Mesmo resultado, por outro caminho.

Passo 5

Conclusão final: a série diverge. Um jeito prático de lembrar na prova: para n grande, \log n cresce (mesmo que lentamente), e já a partir de n=3 tem \log n\ge1, então o termo \dfrac{\log n}{n} é maior que \dfrac{1}{n}; como a harmônica diverge, a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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