Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
e)
e)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede apenas para determinar se ela converge ou diverge. Informações úteis extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Note que
, então o primeiro termo é zero, e para os termos são positivos (assume-se aqui como o logaritmo natural). - A tarefa é dizer se a soma infinita dos
converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Passo 2
Verificação rápida do comportamento do termo: é preciso lembrar que um teste preliminar é verificar o limite dos termos.
Calcule
Calcule
Para isso, pode-se considerar a função contínua
e usar o L’Hôpital (ou só conhecimento de que
cresce muito mais rápido que
). Aplicando L’Hôpital como variável real:
Portanto
. Aviso amigo: o fato de os termos irem para zero é necessário para convergência, mas NÃO é suficiente — portanto precisamos de um teste de séries.
Passo 3
Teste de comparação simples (método direto e elementar). Observe que, para
, vale
então, para todo
,
A série harmônica
diverge. Se a partir de algum
em diante os termos
são maiores ou iguais aos termos de uma série conhecida divergente, então a série original também diverge (teste da comparação direta). Assim, como
para
, conclui-se que
diverge.
Passo 4
(Explicação alternativa — prova pelo teste da integral, para reforçar a intuição.) Considere
para
. Essa função é positiva e monotonicamente decrescente para
(pois
quando
). Pelo teste da integral, a série
e a integral
têm o mesmo tipo de convergência. Calcule a primitiva:
Logo
Como a integral diverge, a série também diverge. Mesmo resultado, por outro caminho.
Passo 5
Conclusão final: a série diverge. Um jeito prático de lembrar na prova: para
grande,
cresce (mesmo que lentamente), e já a partir de
tem
, então o termo
é maior que
; como a harmônica diverge, a série dada também diverge.
Resposta
A série diverge.