Questão 7: Explique de maneira clara e coerente, por que não faz sentido utilizar Limites Laterais para mostrar que o limite de uma função de Duas Variáveis existe.
Passo 1
O enunciado pergunta por que não faz sentido usar apenas limites laterais (isto é, limite pela “esquerda” e pela “direita”) para mostrar a existência de
no caso de uma função de duas variáveis. O conteúdo aqui é a definição de limite em
e a comparação com o caso unidimensional.
Passo 2
Em uma função de uma variável
, dizemos que
se e somente se
Isso funciona porque, em
, qualquer aproximação de
a
só pode vir por duas direções: pela esquerda
ou pela direita
.
Passo 3
Em contrapartida, para uma função
de duas variáveis, aproximar
de
não se limita a apenas “esquerda” ou “direita”. Há infinitas direções e curvas possíveis: retas de diferentes inclinações, parábolas, trajetórias sinuosas etc. Logo, mesmo que você mostre que
existem e coincidem, isso não garante o valor do limite quando
se aproxima por uma reta
ou por qualquer outra curva.
Passo 4
Para ilustrar, considere
Se aproximarmos por
(eixo
) ou por
(eixo
), o quociente dá sempre
. Mas ao aproximar por
temos
que dá outro valor. Mesmo tendo “limites laterais” ao longo dos eixos, o limite total não existe, pois faltou considerar todas as outras direções.
Passo 5
Portanto, em
não faz sentido reduzir a verificação às duas direções “laterais”. O procedimento correto é mostrar diretamente que para todo
existe
tal que
ou então comprovar que todas as famílias de curvas que se aproximam de
levam ao mesmo valor
.
Resposta
Não faz sentido usar limites laterais em duas variáveis porque há infinitas direções de aproximação, não apenas “esquerda” e “direita”. Limites laterais ao longo de dois eixos podem até coincidir, mas podem falhar em capturar o comportamento da função ao longo de qualquer outra reta ou curva; por isso, só a definição
–
ou o teste em todas as direções garante que o limite exista.