Questão 7: Explique de maneira clara e coerente, por que não faz sentido utilizar Limites Laterais para mostrar que o limite de uma função de Duas Variáveis existe.

Passo 1

O enunciado pergunta por que não faz sentido usar apenas limites laterais (isto é, limite pela “esquerda” e pela “direita”) para mostrar a existência de
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)
no caso de uma função de duas variáveis. O conteúdo aqui é a definição de limite em \mathbb{R}^{2} e a comparação com o caso unidimensional.

Passo 2

Em uma função de uma variável g(x), dizemos que \lim_{x\to a}g(x)=L se e somente se
\lim_{x\to a^-}g(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a^+}g(x)=L.
Isso funciona porque, em \mathbb{R}, qualquer aproximação de x a a só pode vir por duas direções: pela esquerda x<a ou pela direita x>a.

Passo 3

Em contrapartida, para uma função f(x,y) de duas variáveis, aproximar (x,y) de (x_{0},y_{0}) não se limita a apenas “esquerda” ou “direita”. Há infinitas direções e curvas possíveis: retas de diferentes inclinações, parábolas, trajetórias sinuosas etc. Logo, mesmo que você mostre que
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0}),\,x<x_{0}}f(x,y) \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0}),\,x>x_{0}}f(x,y)
existem e coincidem, isso não garante o valor do limite quando (x,y) se aproxima por uma reta y-y_{0}=m(x-x_{0}) ou por qualquer outra curva.

Passo 4

Para ilustrar, considere
f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}, \quad (x,y)\neq(0,0).
Se aproximarmos por x=0 (eixo y) ou por y=0 (eixo x), o quociente dá sempre 0. Mas ao aproximar por y=x temos
f(x,x)=\frac{x^{2}}{2x^{2}}=\tfrac12,
que dá outro valor. Mesmo tendo “limites laterais” ao longo dos eixos, o limite total não existe, pois faltou considerar todas as outras direções.

Passo 5

Portanto, em \mathbb{R}^{2} não faz sentido reduzir a verificação às duas direções “laterais”. O procedimento correto é mostrar diretamente que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-L|<\varepsilon,
ou então comprovar que todas as famílias de curvas que se aproximam de (x_{0},y_{0}) levam ao mesmo valor L.

Resposta

Não faz sentido usar limites laterais em duas variáveis porque há infinitas direções de aproximação, não apenas “esquerda” e “direita”. Limites laterais ao longo de dois eixos podem até coincidir, mas podem falhar em capturar o comportamento da função ao longo de qualquer outra reta ou curva; por isso, só a definição \varepsilon \delta ou o teste em todas as direções garante que o limite exista.

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