Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, z)=\ln \left(x+z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,z) = \ln\bigl(x + z^2\bigr).
O conteúdo é derivada parcial e vamos usar a regra da cadeia: se f(u)=\ln(u), então
\frac{df}{du} = \frac1u,
e em seguida multiplicar pela derivada de u=x+z^2 em relação à variável de interesse.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos z como constante. Tomando u = x + z^2, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(u)\bigr] = \frac1u \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x + z^2) = \frac1{x + z^2} \cdot 1 = \frac1{x + z^2}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} tratamos x como constante. Com u = x + z^2, aplicamos a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{d}{du}\bigl[\ln(u)\bigr]\cdot \frac{\partial}{\partial z}(x + z^2) = \frac1{u}\cdot 2z = \frac{2z}{x + z^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac1{x + z^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{2z}{x + z^2}.

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