Questão 6 - Mostre que \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{\operatorname{sen}(x y z)}{x y z}=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{\sin(xyz)}{xyz} = 1.
O que vamos usar é o limite unidimensional clássico
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1
e o fato de que a multiplicação em \mathbb R^3 é contínua.

Passo 2

Definimos a função de uma variável
f(u) = \frac{\sin(u)}{u}.
Sabe-se que
\lim_{u\to0}f(u)=1.

Passo 3

No problema, o argumento dessa função é
u(x,y,z)=x\,y\,z.
Como produto de funções contínuas, temos
(x,y,z)\;\longmapsto\;u(x,y,z)\;=\;x\,y\,z
é contínuo, logo quando (x,y,z)\to(0,0,0) obtemos u(x,y,z)\to0.

Passo 4

Reescrevendo a expressão original,
\frac{\sin(xyz)}{xyz} \;=\; f\bigl(u(x,y,z)\bigr).
Pelo teorema da composição de limites, como u(x,y,z)\to0 e \lim_{u\to0}f(u)=1, segue que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{\sin(xyz)}{xyz} = 1.

Resposta

1

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