Questão 5 - Mostre que a função definida abaixo é contínua em
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
é contínua em
. Para isso precisamos provar que
Vamos usar estimativas e o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).
Passo 2
Observe que, para qualquer real
, vale
Aqui
. Logo, para
,
Passo 3
Agora estimamos
. Primeiro, pela desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou AM–GM), temos
E também
Combinando,
Portanto, para
, temos a estimativa
Passo 4
Como
, pelo Teorema do Confronto segue
Isso coincide com
, logo
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
porque