Questão 5 - Mostre que a função definida abaixo é contínua em (0,0,0).
f:\left\{\begin{array}{cl} \operatorname{sen}\left(\frac{x y}{|x|+|y|}\right), & \text { se, } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se, } \quad(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \operatorname{sen}\!\bigl(\frac{xy}{|x|+|y|}\bigr),&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que f é contínua em (0,0). Para isso precisamos provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Vamos usar estimativas e o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Observe que, para qualquer real u, vale
|\operatorname{sen}(u)|\le|u|.
Aqui u=\frac{xy}{|x|+|y|}. Logo, para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|=\Bigl|\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{xy}{|x|+|y|}\bigr)\Bigr|\le\Bigl|\tfrac{xy}{|x|+|y|}\Bigr| =\frac{|x\,y|}{|x|+|y|}.

Passo 3

Agora estimamos \frac{|x\,y|}{|x|+|y|}. Primeiro, pela desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou AM–GM), temos
x^2+y^2\ge2|x\,y|\quad\Longrightarrow\quad |x\,y|\le\frac{x^2+y^2}{2}.
E também
x^2+y^2\le(|x|+|y|)^2.
Combinando,
|x\,y|\le\frac{(|x|+|y|)^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{|x\,y|}{|x|+|y|}\le\frac{|x|+|y|}{2}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0), temos a estimativa
|f(x,y)|\le\frac{|x|+|y|}{2}.

Passo 4

Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|x|+|y|}{2}=0, pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{(x,y)\to(0,0)}|f(x,y)|=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Isso coincide com f(0,0)=0, logo f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0) porque
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).

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