Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{3}\right)^{10}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y) = \bigl(x^{2} + y^{3}\bigr)^{10}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a expressão interna como uma função de duas variáveis e multiplicamos pela derivada dessa parte interna em relação à variável escolhida.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Definimos a parte interna
u(x,y) = x^{2} + y^{3},
logo f(x,y) = [u(x,y)]^{10}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = 10\,\bigl[u(x,y)\bigr]^{9}\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \partial u/\partial x = 2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = 10\,(x^{2}+y^{3})^{9}\cdot 2x = 20\,x\,(x^{2}+y^{3})^{9}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Usamos a mesma decomposição u(x,y)=x^{2}+y^{3} e a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = 10\,[u(x,y)]^{9}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Como \partial u/\partial y = 3y^{2}, segue
\frac{\partial f}{\partial y} = 10\,(x^{2}+y^{3})^{9}\cdot 3y^{2} = 30\,y^{2}\,(x^{2}+y^{3})^{9}.

Resposta

f_x(x,y) = 20\,x\,(x^{2}+y^{3})^{9},
f_y(x,y) = 30\,y^{2}\,(x^{2}+y^{3})^{9}.

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